4. Коды с
Использованный выше метод не позволяет указать систему линейных форм, представляющую код с любым d, принадлежащим интервалу
(IX.4.1)
Так, например, при 
и 
оказывается невозможным построить код с 
и все коды с нечетным 
а при 
— коды с d=26; 22; 20; 18 и по-прежнему все коды с нечетным 
.
Указанные пробелы до некоторой степени восполняются применением метода выбора системы линейных форм по следующему правилу.
Теорема IX.5. Если из системы всех попарно линейно независимых форм исключить все формы вида
(IX.4.2)
и
(IX.4.3)
то при
(IX.4.4)
образуется оптимальный код с параметрами
(IX.4.5)
(IX.4.6)
причём имеются комбинации веса
(IX.4.7)
и
Доказательство этой теоремы в принципе не отличается от доказательства предыдущей, поэтому оно здесь не приводится.
Обратим внимание на два обстоятельства. Прежде всего, в случае 
и 
указанные коды по своим параметрам не отличаются от кодов Мак-До-нальда. Далее, если 
(к —целое число), то код с 
целесообразнее строить при помощи
предыдущей теоремы, так как в этом случае значность кода получается на единицу меньше, хотя оба кода являются оптимальными по оценке (VI.7.8).
Наконец, заметим, что теорема IX.4 может быть получена из теоремы IX.5, если в условии последней положить 
, a d определять как целую часть (IX.4.6).
Класс оптимальных кодов, который может быть построен на основе теоремы IX.5, несколько шире, чем в случае теоремы IX.4. Однако и она не позволяет полностью перекрыть интервал значений в IX.4.2.
Если в теореме IX.5 дополнительно допустить условие
(IX.4.8)
то оказывается возможным построить класс оптимальных по оценке (VI.78) небинарных кодов с параметрами
(IX.4.9)
и
(IX.4.10)
, поэтому такие коды оказываются либо оптимальными, либо достаточно близкими к оптимальным.
для бинарных кодов с 
а во второй — те же величины для кодов с 
и 
.
