ГЛАВА XIII. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА ОПОЗНАНИЯ СООБЩЕНИИ В КАНАЛАХ СО СТИРАНИЕМ

1. Общие замечания

Статистические особенности двоичного симметричного стирающего канала (ДССтК) определяются тремя вероятностями (см. § 6 гл. II): трансформации символа стирания символа s и правильного приема символа . Связь между этими величинами существенно предопределяется видом первой решающей схемы.

В двоичных приемниках с симметричным интервалом стирания первая решающая схема представляет собой двухпороговое устройство (рис. (XIII.1). Здесь случайные величины (3.0.1), образующиеся на выходе приемника, отождествляются с символом 0 только тогда, когда

(XIII.1.1)

а с символом 1 тогда, когда

(XIII.1.2)

где v — некоторое положительное число, и предполагается, что распределение является зеркальным отображением распределения относительно точки 0.

Если же окажется, что

(XIII.1.3)

то вырабатывается специальный сигнал (символ) стирания .

Напомним, что величину v называют шириной интервала стирания, а в качестве синонимов этого понятия часто используют: «зона неопределенности» и «нулевая зона».

Вероятность трансформации символа , т. е. вероятность выполнения неравенства (XIII.1.1), когда представляет собой выборку из распределения (передан символ 1), или вероятность реализации неравенства (XIII.1.2) при условии, что передается символ 0 ( — выборка из распределения определяется формулой рис. (XIII.2)

(XIII.1.4)

Рис. XIII.1. Блок-схема двоичного приемника с интервалом стирания.

Рис. XIII.2. Симметричны» интервал стирания.

Одновременно вероятность стирания символа [вероятность выполнения условия (XIII.1.3)]

(XIII.1.5)

На рис. XIII.3 и XIII.4 приведены зависимости (XIII.1.4) и (XIII.1.5) от ширины интервала стирания v для различных значений h в предположении, что распределения и являются нормированными нормальными распределениями со средними, равными h и —h соответственно.

Точки пересечения кривых на рис. XIII.3 с осью координат определяют вероятность трансформации символа в двоичном симметричном канале (при вероятность стирания символа при любом ).

Рис. XIII.3. Зависимость вероятности трансформации символа от ширины интервала стирания v при различных значениях .

Другая блок-схема приемника с сигналом стирания показана на рис. XIII.5. Она отличается от предыдущей тем, что здесь сигнал преобразуется в две случайные величины и , каждая из которых сравнивается с некоторой фиксированной пороговой величиной . Полагают (рис. XIII.6), что был передан символ 0, если

(XIII.1.6)

и одновременно

(XIII.1.7)

где — величина порога стирания.

Если же

(XIII.1.8)

и одновременно

(XIII.1.9)

то считают, что был передан символ 1

Рис. XIII.4. Зависимость вероятности стирания символа s от ширины интервала стирания при различных значениях .

Наконец, принятый сигнал отождествляется с символом стирания z в тех случаях, когда

(XIII.1.10)

либо

(XIII.1.11)

В (XIII.1.6)-(XIII.1.10) величины и распределены соответственно по законам либо и , либо и (первый индекс—номер фильтра, а второй — номер переданного сигнала).

Для простоты и конкретности дальнейших рассуждений будем полагать, что указанные распределения являются нормальными с дисперсией , причем первое и последнее имеют среднее , а у двух других среднее равно нулю.

Рис. XIII.5. Блок-схема приемника с порогом стирания.

Заметим, что при сделанных предположениях случайная величина будет представлять собой выборку либо из , либо из , причем оба этих распределения будут нормальными с дисперсией и средними, равными h и .

Вероятность выполнения (XIII. 1.6) — (XIII. 1.7) при условии, что передается символ 1, или вероятность выполнения (XIII. 1.8) — (XIII. 1.9) при условии, что передается символ 0, равна

Рис. XIII.6. Распределения случайных величин и в случае: а) -искаженный элементарный сигнал б) - искаженный элементарней сигнал .

(XIII.1.12)

где (см. рис. (XIII.6))

(XIII.1.13)

Вероятность стирания символа, т. е. вероятность выполнения либо системы неравенств (XIII.1.10), либо системы (XIII. 1.11). равна

(XIII.1.14)

На рис. XIII.7 и XIII.8 показана зависимость и от при различных значениях . Графики построены в предположении, что .

Легко заметить, что, во-первых, при вероятность трансформации символа максимальна, a -минимальна. Во-вторых, при и любом h вероятность . В-третьих, из сравнения графиков рис. и рис. XIII.7, XIII.8 и рис XIII.3,XIII.4 видно, что для каждого h при одном и том же значении вероятности стирания символа s схема на рис XIII.1 обеспечивает меньшую вероятность неправильного приема символа , чем схема на рис. XIII.5.

Рис. XIII.7. Зависимость вероятности трансформации символа от величины порога стирания и и различных .

Поэтому мы ограничим все дальнейшие исследования схемой на рис.XIII. 1., так как применительно к схеме на рис.XIII.5 рассматриваемые в этой главе задачи имеют тривиальные и сравнительно неэффективные решения.

Введение интервала стирания, конечно, не является самоцелью. Переход от двоичного симметричного канала к симметричному каналу со стиранием может быть

Рис. XIII.8. Зависимость вероятности стирания символа s от величины порога стирания и различных .

оправдан, если при этом достигается улучшение тех или иных характеристик системы связи или решаются какие-либо специфические задачи, например появляется возможность оценивать состояние канала передачи.

Методика решения такого рода вопросов здесь иллюстрируется на примере двух наиболее простых случаев, а именно передачи сообщения безызбыточным кодом и кодом с . Это позволяет конкретно и наиболее просто показать основные способы решения задач по выбору нужной ширины интервала стирания и в какой-то степени отметить те практические и аналитические трудности, которые встречаются при отыскании строгих и приближенных решений.

Кроме того, рассматриваемые здесь методы практически без изменения могут быть использованы для анализа и синтеза систем, имеющих приемники с двумя градациями верности.

Обратим внимание на то, что в дальнейшем все величины, характеризующие ДССтК, обозначаются как функции ширины интервала стирания , например: и т. д. Будем говорить, что ДССтК вырождается в ДСК, когда интервал стирания равен нулю, и кратко обозначать такую ситуацию , что полностью согласуется со схемой на рис. XIII.1. В соответствии с этим величины, характеризующие ДСК, обозначаются следующим образом: