9. Оптимальная процедура декодирования в системах с переменными параметрами

При выбранной процедуре кодирования в системах с переменными параметрами определяется матрица

(IV.9.1)

где — вероятность получить сигнал при условии, что канал находится в состоянии и передавалось сообщение (сигнал ).

Наша задача заключается в отыскании правила разбиения множества на М подмножеств, таких, при которых в каждом состоянии капала минимизируется условный средний риск

(IV.9.2)

Теорема IV.11. При выбранной процедуре кодирования условный средний риск достигает минимума тогда, когда все сигналы подмножества таковы, что выполняется условие

(IV.9.3)

Доказательство этой теоремы с точностью до терминологии совпадает с доказательством теоремы IV.I, и поэтому оно здесь опускается.

В простых системах типа М решение должно приниматься всякий раз, когда

(IV.9.4)

т. е. каждое подмножество содержит сигналы вероятьюсть образования которых на входе декодера для данного состояния канала наибольшая при передаче сигнала . Условия (IV.9.3) и (IV.9.4) показывают, что «содержание» подмножеств должно изменяться по мере изменения состояния канала, т. е. процедура декодирования должна быть адаптивной. Пусть канал таков, что если в некотором состоянии канала .

(IV.9.5)

для тех же и всех состояний канала .

Допустим, что для сигнала в некотором фиксированном состоянии канала имеет место соотношение (IV.9.4), тогда в силу (IV.9.5) при всех других состояниях канала неравенство (IV.9.4) также будет выполнено. Отсюда следует теорема.

Теорема IV.12. При выполнении условий (IV.9.5) в простых системах тина М при любом способе кодирования оптимальная процедура декодирования инвариантна относительно состояния канала. В частности, в системах с симметричными каналами без памяти при медленном изменении параметров канала она полностью совпадает с оптимальной процедурой декодирования для систем с постоянными параметрами (со всеми вытекающими отсюда последствиями).

Теорема не нуждается в специальном доказательстве, так как

(IV.9.6)

где

(IV.9.7)

а - вероятность правильного приема символа в состоянии канала.

Здесь, как и ранее, коды, оптимальные в смысле Хэмминга, максимизируют нижнюю границу вероятности в каждом состоянии канала, и, следовательно, при симметричных «каналах и посимвольном методе приема не требуется осуществлять контроль за состоянием канала и менять процедуру декодирования. Однако в системах с симметричным каналом со стиранием или с симметрическим каналом с двумя градациями верности для минимизации средней вероятности неправильного декодирования оказывается необходимым осуществлять контроль за состоянием канала я синхронно изменять ширину интервала стирания.

Наконец, если в системах с медленно меняющимися параметрами для определенных значений канал оказывается асимметричным, то вопрос о применении тех или иных алгоритмов решается на основе § 8.

В системах с быстро меняющимися параметрами состояние канала характеризуется случайным вектором

с постоянными значениями компонент

(IV.9.8)

где по условию — коэффициент затухания элементарного сигнала , расположенного на позиции при состоянии канала

Поставим перед собой задачу установить множество

состояний канала , в которых применение алгоритма декодирования, определенного для систем с постоянными параметрами, оказывается обоснованным.

Для конкретности в дальнейшем расссуждения проводятся применительно к бинарным системам, однако основные соотношения записываются в виде, который допускает их непосредственное использование и в случае .

Пусть в фиксированном состоянии канала случайная величина , образующаяся на выходе приемника, может представлять собой выборку из распределения либо , либо . Первое и второе имеют место, когда и . Допустим, что указанные распределения являются нормальными с дисперсией и средними и . При соответствующем выборе порога в первой решающей схеме канал окажется симметричным, тогда вероятность правильной демодуляции в фиксированном состоянии канала

(IV.9.9)

а вероятность неправильного опознания определяется формулой, аналогичной (II.4.7).

В (IV.9.9) интеграл вероятности

(IV.9.10)

Допустим далее, что случайные величины для каждого фиксированного состояния канала статистически независимы. Это условие выполняется при достаточно общих предположениях о виде аддитивной помехи и не зависит от того, каким образом компоненты случайного вектора связаны между собой. При сделанных предположениях неравенство (IV.9.8) примет вид

(IV.9.11)

(для наглядности записи считается, что комбинация отличается от в первых, а от — в последних позициях).

Усилим неравенство (IV.9.11)

(IV.9.12)

где и — наименьшие и наибольшие значения и соответственно.

Если теперь предположить, что то неравенство (IV.9.12) сведется к (IV.8.4), а решаемая задача — к задаче, рассмотренной в § 8. Эти обстоятельства дают основания сформулировать следующую теорему.

Теорема IV.13. В простой системе типа М с переменными параметрами и симметричными каналами [в смысле (IV.9.9)(IV.9.10)] декодирование по критерию минимума числа несовпадающих позиций остается наивыгоднейшим для всех состояний канала, удовлетворяющих условию (IV.8.7)-(IV.8.10), и по крайней мере для комбинаций, отличающихся от кодовых в позациях при четных и в позициях при нечетных .

Так, например, для всех состояний канала, в которых за время передачи сообщения вероятность трансформации символа может измениться на порядок , а декодирование по критерию минимума числа несовпадающих позиций остается наивыгоднейшим для комбинаций, отличающихся от кодовых в и менее позициях при .

Величины и однозначно связаны с параметрами распределений и поэтому из неравенств (IV.9.7)-(IV.9.10) в случае необходимости можно найти условия, которым должны удовлетворять компоненты

вектора для того, чтобы теорема IV.13 была справедлива.

Целесообразность применения указанных процедур декодирования для конкретных значений (или ) можно оценить, вычислив вероятность того, что условия (IV.8.7)-(IV.8.10) будут иметь место:

(IV.9.13)

где — -мерная плотность распределения векторов (IV.9.13) , и интеграл берется по области , определяемой из неравенств (IV.8.7)-(IV.8.10).

В случае, когда вероятность (IV.9.13) существенно отличается от единицы, мы должны отказаться либо от попытки отыскать процедуру декодирования, минимизирующую условный средний риск для каждого состояния

Рис. IV.2. Зависимость отношения от при приеме с двумя градация верности.

канала, либо от посимвольного метода приема сложных сигналов в его чистом виде и перейти к другим более совершенным методам приема. Первый путь приводит

к задаче выявления среди состояний канала (векторы )наиболее вероятных и к разработке алгоритмов декодирования, специально приспособленных для этих состояний. Второй путь требует лишь перехода к приему с симметричной зоной стирания, приему с двумя градациями верности, приему по наиболее надежным символам и др. При этих методах увеличиваются отношения и (рис.IV.2, IV.3 см. также рис. IV.1) и, следовательно, расширяется множество состояний канала, удовлетворяющих условиям (IV.8.7)-(IV.8.10). Кроме того, с наибольшими вероятностями стираются (или отмечаются как ненадежные) символы, которые в первую очередь могли быть демодулированы неправильно.

Рис. IV.3

Наконец заметим, что решение задач контроля за состоянием канала, а также задач оптимизации и адаптации параметров двухпорогового селектора в системах с быстро меняющимися параметрами осложняется, во-первых, тем, что для фиксации -го состояния канала необходимо оценивать значения минимальной и максимальной его компонент (недостаточно знать среднее значение компонент

вектора или среднее значение вероятности трансформации символа в состоянии канала).

Во-вторых, формулы для расчета вероятностей

а также величин в таких системах оказываются весьма громоздкими даже при выполнении условий (IV.8.10)-(IV.8.12) и посимвольном методе приема.

Так, например, для кодов с коррекцией одиночных ошибок мы имеем

(IV.9.14)

соответственно

(IV.9.15)

Как легко заметить, здесь не выполняются условия (IV.4.8)-(IV.4.9), и поэтому становится понятной актуальность поиска простых, но достаточно точных выражений

для оценки величин и .

Такого рода задачи, по сути дела, сводятся к выбору способа усреднения компонент вектора для каждого состояния канала с последующим применением формул, используемых для расчета соответствующих величин в системах с медленно меняющимися параметрами и к оценке степени их отклонения от «средних» значений.

Следует также обратить внимание на то, что при передаче по каналам с переменными параметрами в последовательности кодовых комбинаций число неправильно принятых символов меняется от комбинации к комбинации, а в пределах каждой из них может наблюдаться группирование искаженных символов в так называемые пачки, всплески и пакеты ошибок. Повышение достоверности передачи при наличии таких специфических эффектов достигается применением ряда так называемых методов декорреляции ошибок (способ Блоха — Харке-вича [68]; итеративные коды [180—182]; антифединговые коды [144] и др.), а также методов рекуррентного кодирования по Финку и кодов, специально рассчитанных на исправление пачек и пакетов ошибок [29] (возможно в сочетании с указанными выше способами).