такую, что ее 
символ 
удовлетворяет равенству
(VI.4.2)
где сложение производится по правилам поля 
символы комбинаций 
и 
соответственно.
При выполнении условий (VI.4.1)-(VI.4.2) множество 
оказывается абелевой (коммутативной) группой, ибо замкнутость, коммутативность и ассоциативность множества 
непосредственно следуют из групповых свойств элементов ноля, а роль нулевого элемента выполняет комбинация 
, состоящая только из нулей:
(VI.4.3)
Множество 
комбинаций 
линейного кода 
образуют подгруппу группы 
так как 
а сумма двух произвольных комбинаций образует комбинацию того же кода. Действительно, допустим, что
(VI.4.4)
В множестве 
всегда можно указать комбинацию
(VI.4.5)
такую, у которой информационные символы удовлетворяют условию
(VI.4.6)
Учитывая это, а также то, что 
(VI.4.7)
Таким образом, если каждый информационный символ комбинации 
представляет собой сумму соответствующих информационных символов комбинаций 
и 
то и проверочные символы 
также являются суммой соответствующих проверочных символов 
и 
. Это обстоятельство и доказывает замкнутость 
относительно определенной выше операции «покоординатного» сложения комбинаций.
Лемма VI.2.Комбинации линейного кода 
образуют абелеву подгруппу относительно операции сложения (VI.4.1)-(VI.4.2).
Полученные результаты позволяют выявить одно весьма существенное свойство групповых кодов, а именно их симметрию.
Лемма VI.3. Коды 
симметричны в том смысле, что если имеется 
комбинаций, отличающихся в 
позициях от комбинации 
то всегда найдется точно 
комбинаций, отличающихся в 
позициях и от комбинации 
, причем число 
совпадает с числом комбинаций, содержащих 
символов, отличных от нуля.
Прежде всего очевидно, что если две комбинации 
например 
и 
, отличаются между собой в 
позициях, то это число не изменится, если к 
и 
одновременно прибавить произвольную комбинацию 
(в частном случае 
может совпадать с одной из комбинаций 
.
Среди комбинаций линейного кода имеется только одна 
, у которой все символы равны нулю, а любая другая комбинация 
содержит 
отличных от нуля символов (имеет вес 
). Допустим, что число комбинаций веса 
равно 
(естественно, 
).
Прибавим ко всем комбинациям кода комбинацию 
. В результате множество 
отобразится само на себя, а роль нулевого элемента будет теперь выполнять комбинация 
. Поэтому в полученном множестве всегда найдется 
комбинаций, содержащих 
отличных от нуля символов (отличающихся в 
позициях от 
Однако прибавление к 
любой комбинации 
не меняет числа 
и, следовательно, в множестве 
имеется точно 
комбинаций, отличающихся от 
в 
позициях.
Следствие 1 (леммы VI.3). Если вес любой комбинации 
равен 
то кодовое расстояние равно d. Другими словами, в линейных кодах с метрикой Хэмминга кодовое расстояние определяется комбинацией, имеющей минимальный вес среди всех ненулевых комбинаций:
(VI.4.8)
Это утверждение очевидно и не требует особых доказательств.
комбинаций кода 
является подмножеством множества 
всевозможных различных 
-значных комбинаций 
. Суммой комбинации 
и 
называют комбинацию
(VI.4.1)
