4. Групповые свойства линейных кодов

Совокупность комбинаций кода является подмножеством множества всевозможных различных -значных комбинаций . Суммой комбинации и называют комбинацию

(VI.4.1)

такую, что ее символ удовлетворяет равенству

(VI.4.2)

где сложение производится по правилам поля символы комбинаций и соответственно.

При выполнении условий (VI.4.1)-(VI.4.2) множество оказывается абелевой (коммутативной) группой, ибо замкнутость, коммутативность и ассоциативность множества непосредственно следуют из групповых свойств элементов ноля, а роль нулевого элемента выполняет комбинация , состоящая только из нулей:

(VI.4.3)

Множество комбинаций линейного кода образуют подгруппу группы так как а сумма двух произвольных комбинаций образует комбинацию того же кода. Действительно, допустим, что

(VI.4.4)

В множестве всегда можно указать комбинацию

(VI.4.5)

такую, у которой информационные символы удовлетворяют условию

(VI.4.6)

Учитывая это, а также то, что

(VI.4.7)

Таким образом, если каждый информационный символ комбинации представляет собой сумму соответствующих информационных символов комбинаций и то и проверочные символы также являются суммой соответствующих проверочных символов и . Это обстоятельство и доказывает замкнутость относительно определенной выше операции «покоординатного» сложения комбинаций.

Лемма VI.2.Комбинации линейного кода образуют абелеву подгруппу относительно операции сложения (VI.4.1)-(VI.4.2).

Полученные результаты позволяют выявить одно весьма существенное свойство групповых кодов, а именно их симметрию.

Лемма VI.3. Коды симметричны в том смысле, что если имеется комбинаций, отличающихся в позициях от комбинации то всегда найдется точно комбинаций, отличающихся в позициях и от комбинации , причем число совпадает с числом комбинаций, содержащих символов, отличных от нуля.

Прежде всего очевидно, что если две комбинации например и , отличаются между собой в позициях, то это число не изменится, если к и одновременно прибавить произвольную комбинацию (в частном случае может совпадать с одной из комбинаций .

Среди комбинаций линейного кода имеется только одна , у которой все символы равны нулю, а любая другая комбинация содержит отличных от нуля символов (имеет вес ). Допустим, что число комбинаций веса равно (естественно, ).

Прибавим ко всем комбинациям кода комбинацию . В результате множество отобразится само на себя, а роль нулевого элемента будет теперь выполнять комбинация . Поэтому в полученном множестве всегда найдется комбинаций, содержащих отличных от нуля символов (отличающихся в позициях от

Однако прибавление к любой комбинации не меняет числа и, следовательно, в множестве имеется точно комбинаций, отличающихся от в позициях.

Следствие 1 (леммы VI.3). Если вес любой комбинации равен то кодовое расстояние равно d. Другими словами, в линейных кодах с метрикой Хэмминга кодовое расстояние определяется комбинацией, имеющей минимальный вес среди всех ненулевых комбинаций:

(VI.4.8)

Это утверждение очевидно и не требует особых доказательств.