6. Некоторые свойства базисном матрицы кода, (n,m,d) и ее контрольной подматрицы
Указанная выше связь между линейными формами кода 
, и его базисом, дает возможность свести задачу синтеза кода к определению 
базисных комбинаций 
. Однако для того, чтобы матрица 
могла служить базисом кода 
ее строки должны удовлетворять некоторым определенным условиям. Не нарушая общности рассуждения, отметим некоторые из них применительно к матрице вида (VI.5.12).
Прежде всего, так как 
то каждая строка (VI.5.12) содержит не менее чем d отличных от нуля символов и отличается от любой другой не менее чем в d позициях. Далее, в результате нетривиального суммирования 
строк базисной матрицы должна получаться комбинация, содержащая не менее чем d отличных от нуля символов.
Выбор 
первых столбцов базисной матрицы не представляет труда. Основная сложность заключается в выборе элементов k последних ее столбцов. Эта задача может быть решена, конечно, на основе теоремы VI.3. Однако она существенно упрощается, если учитывать следующие обстоятельства.
Теорема VI.4. Для того чтобы матрица порядка 
была контрольной подматрицей кода 
необходимо и достаточно, чтобы комбинация, получающаяся в результате -нетривиальной суммы 
ее строк, содержала не менее чем 
отличных от нуля символов.
Среди 
первых символов каждой строки базисной матрицы (VI.5.12) имеется только один, отличный от нуля, причем он располагается на разных позициях у разных комбинаций 
. Поэтому среди первых 
символов комбинации 
, полученной в результате нетривиального суммирования 
строк (VI.5.12), всегда найдется точно 
отличных от нуля символов. По условию комбинация 
имеет вес не менее чем d, и, следовательно, среди ее последних k символов должно быть не менее чем 
отличных от нуля, что требовалось доказать.
Полагая 
и 
, соответственно получим
Следствие 1 (теоремы VI.4). Каждая строка контрольной подматрицы кода 
содержит не менее 
отличных от нуля символов.
Следствие 2 (теоремы VI.4). Строки контрольной подматрицы кода 
отличаются не менее чем в 
позициях.
Следствие 3 (теоремы VI.4). В контрольной подматрице кода 
любые d—1 ее строк линейно независимы.
Теоремы VI.1-VI.4. в принципе решают задачу построения кода 
которая сводится либо к задаче определения матрицы, удовлетворяющей условиям теоремы VI.3. либо к задаче выбора 
комбинаций 
, удовлетворяющих условиям теоремы VI.4, т. е. также к выбору некоторой матрицы.
Необходимо отметить, что в [86] доказана теорема, которая также в принципе решает задачу построения кода. Эта теорема не совпадает с доказанными здесь, но по существу находит свое отражение в следствии 3 (теоремы VI.4).
