6. Критерий максимума отношения правдоподобия при симметричных каналах со стиранием

Вероятность того, что при передаче -значной кодовой комбинации на выходе симметричного стирающего канала без памяти реализуется комбинация , содержащая стертых символов, равна:

(IV.6.1)

где — число позиций, в которых отличается по нестертым символам от .

В простых системах типа М с такого рода каналами декодирование по максимуму отношения правдоподобия является оптимальным (см. теорему IV.2). Таким образом, решение следует принимать всякии раз, когда

(IV.6.2)

Это неравенство выполняется, если поэтому здесь имеет место положение, аналогичное теореме .

Теорема IV.6. В простых системах типа М при выполнении условий (IV.6.1)-(IV.6.2) и фиксированном способе кодирования вероятность минимальна, если декодирование -проводится по критерию минимума различия по нестертым символам, т. е. решение принимается всякий раз, когда

(IV.6.3)

или, что то же самое,

(IV.6.4)

Обратим внимание на то, что если комбинация

отличается (по нестертым символам) в одинаковом числе позиций от и то с равным успехом может приниматься как решение так и решение .

При стирании каких-либо символов одновременно

во всех комбинациях выбранного кода , и,

следовательно, минимальное из этих чисел при оптимальной процедуре декодирования (IV.6.4) каждое подмножество содержит по крайней мере все комбинации , отличающиеся от в позициях:

(IV.6.5)

где .

Пусть при передаче на входе декодера образовалась комбинация , не содержащая стертых символов ,тогда решение, будет принято правильно, если содержит (по крайней мере) не более чем трансформированных символов [условная вероятность реализации такой ситуации ]. Если бы была получена комбинация , то решение будет принято по крайней мере тогда, когда в содержится не более чем трансформированных символов

[вероятность и т. д. Наконец, когда полученная комбинация содержит d—1 стертых символов, то переданное сообщение будет опознано правильно, если среди нестертых символов не окажется ни одного трансформированного [вероятность ]. Следовательно, вероятность принять решение равна

(IV.6.6)

Изменяя порядок суммирования, получим

(IV.6.7)

Из анализа двух последних выражений легко вывести следующую теорему.

Теорема IV.7. В простой системе типа М при выполнении (IV.6.1)-(IV.6.2) и оптимальной процедуре декодирования коды, оптимальные в смысле Хэмминга, максимизируют нижнюю границу средней вероятности правильного декодирования.

Задача выбора оптимальной ширины интервала стирания рассматривается в гл. XIII.