2. Методы формирования комбинаций циклических кодов

В соответствии с общим положением любая комбинация циклического кода представима в виде

(X.2.1)

где — информационные символы комбинации исходного кода, а — базисные комбинации. Записав в виде полинома и используя свойство 6 полинома , из (X.2.1) получим

(X.2.2)

Учитывая, что есть не что иное, как полином, соответствующий комбинации исходного кода, найдем

(X.2.3)

Пример. Пусть базисная матрица кода совпадает с (X.1.12), а комбинация исходного кода имеет вид 1001. В коде (X.1.13) ей соответствует следующая комбинация [см. (X.2.1)].

(X.2.4)

С другой стороны, комбинации 1001 соответствует полином . Учитывая, что для кода (X.2.12) , найдем [см. (X.2.3)

(X.2.5)

Полиному, стоящему в правой части последнего равенства, соответствует комбинация (X.2.4).

Операция умножения по модулю некоторого фиксированного многочлена на другой многочлен степени, не большей , выполняется с помощью многотактных линейных фильтров Хаффмена. Одна из таких схем показана на рис. X.1. Она состоит из регистра памяти РП, сумматоров по модулю два и перемножителей на коэффициенты полинома ( ячейка РП подсоединяется к сумматору, только если ).

Работа кодера (устройства умножения полиномов) вкратце сводится к следующему. При чподаче на его вход информационного символа [коэффициента при высшем порядке многочлена ] на выходе образуется произведение , а значение запоминается в первой ячейке РП.

Рис. X.1. Схема для умножения фиксированного многочлена на произвольный полином степени, не большей .

При втором такте работы схемы на выходе образуется символ, равный , причем в первой ячейке РП оказывается записанным коэффициент , а во второй — коэффициент .

После -го такта процесс формирования комбинации заканчивается. При этом первыми на выходе кодера образуются коэффициенты при старших членах полинома а синтезированные с его помощью кодовые комбинации в явном виде не содержат информационных символов [см.(X.1.13).

Кодирующее устройство только что описанного типа применительно к коду (X.1.12) показано на рис. X.2 Процесс формирования комбинации (X.2.4)-(X.2.5) шаг за шагом представлен в табл.X.1.

Рассмотрим второй способ образования комбинаций циклического кода. Пусть -полином степени , у которого первые k коэффициентов равны нулю, а коэффициенты при старших членах совпадают с информационными символами. Разделим на порождающий полином .

Таблица X.1.

В общем случае результат деления представляется в виде частного и остатка , причем степень не больше k. Следовательно,

(X.2.6)

или

(X.2.7)

Рис. X.2. Кодирующее устройство кода (7, 4, 3), основанное на умножении фиксированного полинома на произвольный полином степени не более трех.

В правой части (X.2.7) стоит полином, принадлежащий идеалу , поэтому и левая часть представляет собой комбинацию циклического кода. Причем коэффициенты при первых k его разрядах являются проверочными символами, а при старших — информационными. (Для записи кодовой комбинации в стандартном виде в случае необходимости надо переписать последовательность коэффициентов в обратном порядке.)

На рис. (X.3) представлена блок-схема кодера, работающего на указанном принципе. Первоначально ключ К устанавливается в положение 1 и на вход схемы последовательно подаются информационные символы (коэффициенты полинома начиная с коэффициентов при старших членах).

Рис. X.3. Блок-схема кодирующего устройства, основанного на определении остатка от деления на .

Одновременно эти же символы поступают в канал связи. После тактов работы кодера в его регистре памяти образуется остаток от деления на ,(см. например, [29]). На такте ключ К перекидывается в положение 2, и символы, записанные в регистре памяти, один за другим выдаются в канал связи.

Рис. X.4. Кодирующее устройство для кода (7, 4, 3), основанное на вычислении остатка от деления на .

На рис. X.4 блок-схема рис. X.3 детализирована применительно к случаю . В табл. X.2 показано, каким образом происходит вычисление остатка от деления полинома (комбинация 0001001) на .

Табица X.2

Рассмотрим, наконец, третий способ формирования комбинаций циклических кодов. Пусть известен генераторный полином

(X.2.8)

Тогда если подсоединить ячейки регистра памяти к цепи обратной связи так, как это показано на рис. X.5, и записать в них информационные символы, то после тактов работы кодера на выходе последовательно образуются символы комбинации циклического кода.

Рис. X.5. Кодирующее устройство, использующее свойства генераторного полинома.

При этом первые из них будут информационными, а последние -проверочными [29, 42]. На рис. X.6 приведен кодер только что описанного типа для случая (X.1.17), а в табл. X.3 шаг за шагом показан процесс формирования комбинации на его выходе (предполагается, что информационные символы имеют вид 1001).

Рис. X.6. Кодирующее устройство кода (7, 4, 3), основанное на генераторном полиноме .

Заметим, что проверочные символы имеют тот же самый вид, что и в предыдущем случае, а их формирование заканчивается через такта работы схемы.

Таблица X.3