2. Теорема Финка

Оценки вероятности (XII.1.11) являются достаточно грубыми. Так, при верхняя и нижняя оценки отличаются почти на порядок, а при — уже на два порядка. В ряде случаев для оценки вероятности ошибочного декодирования удобно использовать теорему Финка [39]

Теорема XII.1. При любом коде имеет место неравенство

(XII.2.1)

причем оно переходит в равенство только для безызбыточных кодов.

В (XII.2.1) обозначено:

-вероятность того, что при посимвольном методе приема кодовая комбинация принята с ошибкой (независимо от того, можно ли эту ошибку исправить или обнаружить);

— вероятность того, что при посимвольном методе приема и исправлении максимально возможного числа ошибок произошла неисправляемая ошибка;

— вероятность того, что комбинация принята ошибочно при идеальном приеме в целом;

— вероятность того, что при посимвольном методе приема принятая комбинация окажется совпадающей с одной из комбинаций кода, но не с той, которая передавалась.

Сущность теоремы Финка заключается в том, что вероятность ошибочного декодирования зашумленного сложного сигнала при приеме в целом меньше, чем при посимвольном методе приема с исправлением максимально возможного числа ошибок, но она оказывается больше, чем суммарная вероятность трансформации одной комбинации в любую другую данного кода. (Последняя вероятность совпадает с вероятностью необна-руживаемой ошибки. Интересные результаты по оценке такого рода вероятностей получены в [107]).

Вероятность легко вычисляется, если известны веса кодовых комбинаций:

(XII.2.2)

где — число комбинаций веса ; число комбинаций, имеющих минимальный вес .

Таким образом, при приеме в целом наряду с нижней оценкой (XII.1.10) удобно использовать соотношение

(XII.2.3)

где определяется соотношением (XII.2.2). Можно показать, что

(XII.2.4)

Последнее неравенство представляет самостоятельный интерес. Оно очень удобно в качестве оценки вероятности в случае, когда из всех параметров кода известным оказывается лишь кодовое расстояние .