3. Метод сопоставлений

Основноя особенность рассматриваемого метода заключается в том, что на приемном конце запоминаются все М комбинаций данного кода [181]. Принятая комбинация сопоставляется с каждой из них. Решение принимается всякий раз, когда

(VII.3.1)

где — мера похожести комбинации на .

Эта процедура декодирования совпадает с процедурой различения М гипотез. Как известно из общей теории решений, она может быть упрощена и сведена к последовательному решению задач по выбору между двумя гипотезами (см., например, (40]). При этом процесс декодирования-протекает следующим образом. Комбинация сопоставляется с одной из кодовых комбинаций, например с . Если окажется, что

(VII.3.2)

то принимается решение — некоторая константа . Если же окажется, что

(VII.3.3)

то принимается решение о том, что сообщение не передавалось, и с сопоставляется следующая кодовая комбинация — и т. д.

Заметим, что на каждом шаге такого процесса декодирования возможны ошибки только двух типов: отвергнуть верную гипотезу или принять ложное решение. Пусть код является линейным, а величина

(VII.3.4)

где имеет прежний смысл, и для удобства расчетов

принимается . При симметричном канале без памяти вероятность отвергнуть верную гипотезу совпадает с вероятностью невыполнения (VII.3.2) при условии, что передавалась комбинация :

(VII.3.5)

где

(VII.3.6)

Вероятность принять ложную гипотезу — вероятность выполнения (VI1.3.2) при условии, что передавалась комбинация , отличающаяся от в d позициях:

(VII.3.7)

Таким образом, при фиксированном К суммарная вероятность ошибки

(VII.3.7а)

Эта вероятность достигает минимума при таком, при котором одновременно выполняются

(VII.3.8)

или с учетом (VII.3.5) и (VII.3.6)

(VII.3.9)

При достаточно больших значение можно оценить, исходя из того, что распределения при верной и неверной гипотезах аппроксимируются нормальными распределениями с одинаковыми дисперсиями

(VII.3.10)

и средними, соответственно равными

(VII.3.11)

(VII.3.12)

Отсюда

(VII.3.13)

и

(VII.3.14)

где

(VII.3.15)

Значение ограничивает снизу вероятность неправильного декодирования комбинации . Оценка сверху находится из неравенства Буля [166]

(VII.3.16)

Полагая и разлагая интеграл вероятности в ряд, получим

(VII.3.17)

Отсюда следует, что при и фиксированной скорости передачи величина стремится к нулю, если

(VII.3.18)

Полагая в этом неравенстве и выбирая значения и , соответствующие значениям нижней границы Варшамова и верхней границы Хэмминга — Плоткина, легко установить величины , при которых заведомо стремится к нулю.

Рис. VII.1. Зависимость границы скорости передачи от вероятности искажения символа в ДСК, при которой ;1 — коды Варшамова; 2 коды Хэмминга — Плоткина; 3 — пропускная способность ДСК.

Как видно из рис. (VII.1), построенные таким образом кривые лежат ниже кривой, характеризующей пропускную способность С двоичного симметричного канала.

Если демодуляция элементарных сигналов проводится по схеме приемника с двумя градациями верности, то процесс опознания переданной комбинации организуется по аналогии с предыдущим. При этом за меру похожести на следует принять величину

(VII.3.19)

где — число ненадежных символов комбинации и — число позиций, в которых отличается от по надежным и ненадежным символам соответственно; -весовой коэффициент.

Решение как это следует из (VII.3.19) и (VII.3.2)-(VII.3.3), должно приниматься тогда, когда

(VII.3.20)

где

Оптимальное значение этого порога при фиксированных и находится из решения системы неравенств вида (VII.3.8), (VII.3.9) или после аппроксимации распределений нормальными законами.

В тех случаях, когда оказывается нецелесообразным менять значение порога в процессе передачи сообщений, решение следует принимать всякий раз, когда

(VII.3.21)

где — некоторая константа, определяемая из условия минимума суммарной ошибки при таком способе декодирования. Можно показать, что при достаточно больших

(VII.3.22)

Вероятность неправильного опознания переданной комбинации при этом определяется формулой (VII.3.14) при

(VII.3.23)

Задача выбора оптимального значения весового коэффициента и наивыгоднейшей ширины зоны ненадежности решается известными методами математического анализа, а уточнение приведенных и им подобных оценок связано с расчетом вероятностей реализации больших отклонений. Для решения последнего круга вопросов весьма полезными представляются результаты работ Добрушина Р. Л. [90—93] и Петрова В. В. .