Главная > Введение в теорию помехоустойчивого кодирования
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

8. Коды Боуза — Чоудхури

Этот класс циклических кодов является, пожалуй, одним из наиболее интересных как с теоретической, так и с практической точки зрения. В табл. X.7 показана связь между параметрами кодов Боуза—Чоудхури [66] (звездочками отмечены коды, найденные В. Д. Колесником уже после выхода в свет работы [29]).

Таблица X.7

Код (23, 127) известен под названием кода Голея. Этот код является совершенным.

Код (7, 4, 3) совпадает с кодом Хэмминга, а целый ряд других — с кодами Мак-Дональда [например, (15, 5,

7), (31, 6, 15), (63, 6, 31) и др.] Многие коды, приведенные в табл.X.7 , неоптимальны, сюда относятся все коды , коды (25, 5, 5), (49, 7, 7) и ряд других. Простыми методами можно построить коды, параметры которых лучше, а иногда и существенно лучше, чем у некоторых из кодов Боуза — Чоудхури.

Так, например, для известен циклический код Хаффмена (7, 3, 4). Простым четырехкратным повторением комбинаций такого кода может быть образован код (28, 3, 16), который существенно лучше, чем код (39, 3, 13). При пятикратном повторении указанного кода образуется код (35, 3, 20) [код Боуза — Чоудхури (57, 3, 19)]. Наконец, при шестикратном повторении образуется код с и ( и ).

При двукратном повторении кода Хаффмена (15, 4,

8) мы имеем код (30, 4, 16), тогда как в коде Боуза — Чоудхури , и . При трехкратном повторении кода (15, 4, 8) получим код с и ( и ). Число таких примеров можно увеличить.

Наконец, обратим внимание еще на то примечательное обстоятельство, что параметры некоторых кодов, приведенных в табл. X.7, оказываются кратными параметрам одного и того же кода. Например, при параметры всех кодов Боуза — Чоудхури кратны параметрам кода с и .

А это означает, что эквивалентные коды могут быть получены простым повторением кода с и . (При трехкратном повторении образуется код с и при пятикратном с и ; при семикратном — с и ).

То же самое можно сказать и о кодах . Код (45, 5, 21) может быть получен трехкратным повторением комбинаций кода (15, 5, 7). Заметим, что при двукратном повторении последнего кода образуется код (30, 5, 14), лучший, чем коды (55, 5, 11) и (65, 5, 13), см. табл.X.7.

При решении задачи практического выбора кода следует учитывать сделанные замечания относительно оптимальности кодов Боуза — Чоудхури и синтеза кодов с параметрами, им эквивалентными (или лучше). Это тем более важно, что сочетание циклических кодов с методом повторения в ряде случаев позволяет упростить кодирующую и декодирующую аппаратуру.

Теоретические аспекты кодов Боуза—Чоудхури довольно сложны и требуют предварительного знакомства с рядом специальных разделов высшей алгебры. Подробное изложение этого вопроса читатель может найти в работе [29]. Далее будут приведены некоторые положения из теории кодов Боуза — Чоудхури, в какой-то мере поясняющие связь между параметрами указанных кодов.

Если порождающий полином бинарного кода Боуза — Чоудхури обладает тем свойством, что его корнями являются элементы поля :

(X.8.1)

то кодовое расстояние

(X.8.2)

В (X.8.1) — примитивный элемент поля . Порождающий полином кодов Боуза—Чоудхури представляется в виде произведения полиномов:

(X.8.3)

Каждый полином имеет в качестве своих корней элементы поля

(X.8.4)

Порядок элемента в мультипликативной группе меньше или равен , а число, корней полинома , так же как и его степень, всегда меньше или, в крайнем случае, равно (степень полинома равна числу корней). Поэтому степень полинома , или, что то же самое, число избыточных .

(X.8.5)

Значиость кодов Боуза — Чоудхури определяется порядком элемента а и по уже указанным причинам

(X.8.6)

Если в (X.8.1) элемент а не является примитивным [корнями полинома являются некоторые другие элементы поля , то при и

(X.8.7)

значность кода по-прежнему определяется порядком [например, при [поле GF (64)] и значность кода ()].

Корни полинома в случае (X.8.4) удовлетворяют условию, по форме совпадающему с (X.8.4):

(X.8.8)

Как и ранее, число корней полинома определяет его степень, а сумма степеней полиномов задает число избыточных символов. Оценка последнего числа в. принципе может быть найдена через оценку максимально возможной степени полиномов .

В заключение отметим, что существуют полиномы, среди корней которых не содержатся все корни, требующиеся по Боуза — Чоудхури, но порождающие коды с . Сюда относится упоминавшийся уже код Голея. В связи с этим первостепенное значение приобретают задачи по разложению на множители полиномов, в частности двучлена , и исследование корректирующих возможностей кода, порождаемого полиномом с заданными алгебраическими свойствами [105—106].

1
Оглавление
email@scask.ru