4. Оптимальная ширина интервала стирания для кодов с d=2

Рассмотрим далее случай, когда для передачи сообщений используется линейный код . Выберем следующую логическую схему работы декодера. Принятая комбинация считается совпадающей с переданной, если в ней не содержится стертых символов и одновременно выполняется проверка на четность. Если же принятая комбинация содержит один стертый символ, то он восстанавливается, и полученная таким образом комбинация отождествляется с переданной.

Комбинация кода с однозначно не опознается (возникает ситуация неопределенности), когда в ней окажется два (и более) стертых символов или когда число стертых символов равно нулю, но не выполняется проверка на четность.

В соответствии со сказанным вероятность правильного приема комбинации

(XIII.4.1)

В частности, при т. е. когда ДССтК вырождается в ДСК, мы имеем

(XIII.4.2)

Вероятность возникновения ситуации неопределенности

(XIII.4.3)

где .

При из (XIII.4.3) получим

(XIII.4.4)

Вероятность неправильного приема кодовой комбинации равна

(XIII.4.5)

Применительно к ДСК формула (XIII.4.5) перепишется так:

(XIII.4.6)

где и определяются из соотношений (XIII.4.2) и (XIII.4.4), а .

Решение задачи по выбору оптимальной ширины интервала стирания начнем со случая поиска значения , максимизирующего вероятность правильного приема кодовой комбинации. (Такого рода задача применительно к кодам с произвольным d проанализирована в [64].)

Вероятность при и , что ясно из простых физических соображений. Поэтому функция будет иметь максимум только тогда, когда ее производная в точке положительна. Дифференцируя (XIII.4.1) по , найдем

(XIII.4.7)

Полагая и учитывая (XIII.2.10)-(XIII.2.11) а также то, что при этом и , получим

(XIII.4.8)

Таким образом, величина всегда положительна, и вероятность правильного приема комбинации оказывается максимальной при (рис. XIII.13). Величина является корнем уравнения

(XIII.4.9)

Подставляя в это уравнение (XIII.4.7), найдем

(XIII.4.10)

или, что то же самое,

(XIII.4.11)

Рис. XIII.13. Характер зависимости вероятности правильного и неправильного приема комбинации кодов с d=2 от v.

Решение уравнения (XIII.4.9) встречает определенные трудности. Для отыскания приближенных значений можно использовать следующий искусственный прием. Пусть ширина интервала стирания, при которой обеспечивается вероятность правильного приема такая же, как и при (рис.XIII.13). Тогда, если предположить, что на интервале (0;) функция симметрична относительно точки , то

(XIII.4.12)

Таким образом, для оценки значения достаточно решить уравнение

(XIII.4.13)

При обычно , и поэтому можно считать

(XIII.4.14)

где — вероятность стирания символа при .

Подставляя (XIII.4.2) и (XIII.4.14) в (XIII.4.13), найдем

(XIII.4.15)

Разлагая в ряд левую часть (XIII.4.15) и пренебрегая величинами второго порядка малости, получим

(XIII.4.16)

Зная величину и используя графики на рис.XIII.4. легко определить значение , а затем по формуле (XIII.4.12) вычислить

Исследуем поведение вероятности . Дифференцируя (XIII.4.5) по , найдем

(XIII.4.17)

где определяется выражением (XIII.4.7), а — результат дифференцирования (XIII.4.3):

(XIII.4.18)

При значения , и , поэтому

(XIII.4.19)

Отсюда следует, что функция имеет ярко выраженный минимум, так как , когда .

После подстановки (XIII.4.19) и (XIII.4.8) в (XIII.4.17) легко убедиться в том, что

(XIII.4.20)

Учитывая это обстоятельство, а также то, что , когда , приходим к выводу: характер поведения такой же, как и (рис. XIII.13) и максимумы этих функций, вообще говоря, не совпадают.

Из сказанного следует, что всегда можно указать такое значение , при котором вероятность неправильного приема комбинации будет численно совпадать с той, «оторая имеет место при . Величина находится из решения уравнения

(XIII.4.21)

или из решения уравнения

(XIII.4.22)

Заметим, что в интервале вероятность , поэтому снижения вероятности неправильного приема можно добиться только введением интервала стирания . Если же при этом дополнительно окажется, что то при соответствующем выборе можно одновременно уменьшить вероятность неправильиого и увеличить вероятность правильного декодирования комбинации.

Рассмотрим теперь задачу о выборе ширины интервала стирания, минимизирующего вероятность неправильного приема комбинации (XIII.4.6) при ограниченной снизу вероятности ее правильного приема

(XIII.4.23)

при условии

(XIII.4.24)

Решение поставленной задачи начинается с отыскания корней уравнения

(XIII.4.25)

где определяется формулой (XIII.4.1).

Если заданная константа удовлетворяет условию

(XIII.4.26)

то уравнение (XIII.4.25) будет иметь два решения: и (XIII.4.13) (рис. XIII.13. Следовательно, неравенство (XIII.4.24) имеет место при всех , удовлетворяющих неравенству

(XIII.4.27)

При этом ограничении, накладываемом на возможные значения , функция будет иметь минимум либо в точке , либо в точке (так как имеет один экстремум). Таким образом, искомое значение интервала стирания находится после сравнения величин и .

В тех случаях, когда

(XIII.4.28)

уравнение (XIII.4.25) имеет один корень (см. рис. XIII.13) и неравенство (XIII.4.24) выполняется при всех , удовлетворяющих условию

(XIII.4.29)

Оптимальная ширина интервала стирания здесь выбирается после сравнения между собой значений и .

Значение , впрочем так же как и , с хорошей точностью находится из решения уравнения, которое получается из (XIII.4.25) в предположении

(XIII.4.30)

Метод решения этого уравнения по сути дела не отличается от использованного при решении (XIII.4.15) сначала находится величина s, удовлетворяющая условию (XIII.4.30), а затем с помощью графиков на рис.XIII.4 определяется значение ширины интервала стирания.

Разлагая в ряд два первых слагаемых левой части (XIII.4.30) и пренебрегая величинами второго порядка малости, получим формулу для приближенного расчета значения :

(XIII.4.31)

Эта формула совпадает с , если положить

(XIII.4.32)

Таким образом, при ширине интервала стирания в первом приближении минимизируется вероятность неправильного приема комбинации при условии, что вероятность ее правильного приема остается такой

же, как в ДСК. При этом отношение растет

по мере уменьшения и, например, для кода с и достигает 10 при . Изложенные методы могут быть использованы и для решения других задач, например для выбора интервала стирания, максимизирующего вероятность при ограниченном сверху значении