3. Коды с

В настоящем параграфе будет указан метод построения кодов значности (IX.3.1)

причем таких, что в них имеется

(IX.3.2)

комбинаций веса

(IX.3.3)

и

(IX.3.4)

комбинаций веса

(IX.3.5)

В (IX.3.1)-(IX.3.5) .

Этот класс кодов является оптимальным, так как здесь

(IX.3.6)

что совпадает с (VI.1.14).

Множество комбинаций эквидистантного кода (IX. 1.14) условно можно подразделить на два типа. К первому отнесем все комбинации, у которых среди первых и информационных символов имеется по крайней мере один отличный от нуля. Остальные комбинации условимся называть комбинациями второго типа. Число первых равно (IX.3.2), а вторых — (IX.3.4).

Выделим из системы (IX.1.14) все формы, которые зависят только от и независимых переменных . Эти линейные формы имеют вид

(IX.3.7)

где по крайней мере один из коэффициентов . Число таких форм равно

(IX.3.8)

( — максимальное число всех возможных попарно линейно независимых форм, которое можно образовать из и независимых переменных )

Полная система линейных форм (IX.3.7) удовлетворяет условию теоремы IX.1, если в последней положить . А это означает, что в комбинациях первого типа кода (IX.1.14) на позициях, определяемых формами (IX.3.7), найдется точно символов, отличных от нуля, в то время как у комбинаций второго типа на указанных позициях будут располагаться только символы ноль.

Допустим далее, что из системы (IX. 1.14) исключены все линейные формы вида (IX.3.7). Тогда, во-первых, зиачность кода уменьшится до значения (IX.3.1) и, во-вторых, число отличных от нуля символов в комбинациях первого типа сократится точно на величину и окажется равным (IX.3.4). Одновременно вес комбинаций второго типа останется неизменным (IX.3.6).

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема IX.4. Если из системы всех попарно линейно независимых форм, определенных над данным полем относительно независимых переменных, исключить все формы, содержащие только и каких-либо независимых переменных (например, ), то полученная система будет представлять код с параметрами (IX.3.1)-(IX.3.6).

Пример. Пусть и , тогда система линейных форм (IX.1.14) имеет вид

(IX.3.9)

Комбинации этого кода в соответствии с теоремой IX.1 содержат 15 символов и отличаются точно в позициях. Для в (IX.3.9) можно указать всего одну линейную форму вида (IX.3.7), а именно . Если ее исключить из (IX.3.9), то образуется код с параметрами и , причем число комбинаций с таким весом равно , а семь комбинаций будут иметь вес 8.

Для в (IX.3.9) можно указать три формы: . Если их исключить из (IX.3.9), то образуется код с и . Число комбинаций минимального веса равно 12, а три комбинации имеют вес 8.

Наконец, если , то и , причем только одна комбинация будет иметь вес 8, а в 14 комбинациях число отличных от нуля символов окажется равным 4.

Заметим, что на основе теоремы IX.4 не удалось получить код для и .

В бинарном случае коды с параметрами (IX.3.2) и (IX.3.4) не отличаются от кодов [112—113]. Кроме того, при и эти коды по своим параметрам совпадают с одним из кодов Рида—Мюллера [147, 130], а также с почти эквидистантными кодами (§2).