4. Прием по наиболее надежным символам

Процесс опознания переданного сообщения здесь, как в предыдущем случае, протекает в соответствии со схемой рис. 3.0.5 [60]. Однако отличительной его чертой является то, что решение о переданной комбинации предопределяется только минимально возможным числом принятых символов, имеющих наибольшие относительные меры похожести и в этом смысле являющихся наиболее надежными ( символов не влияют на процесс опознания комбинации, они как бы стираются в декодере).

При стирании любых символов в кодовых комбинациях каждая из них будет отличаться от всех остальных по крайней мере в одной позиции. Это условие заведомо не выполняется, если число нестертых символов комбинации оказывается меньше , поэтому

(XII.4.1)

С учетом сказанного процесс обработки последовательности случайных величин (3.0.1) при декодировании по наиболее надежным символам должен протекать следующим образом. Случайные величины в первой решающей схеме отождествляются с символом ;1. Одновременно проводится сравнение абсолютных значений величин и определяются наиболее надежных символов [см. (XII.3.4)]. Процесс декодирования заканчивается, если окажется, что эти символы однозначно определяют одну из комбинаций кода (в случае линейных кодов являются правой частью совместной системы линейно независимых уравнений). Если же отобранные символы совпадают с символами двух или более кодовых комбинаций, то к ним добавляется еще один наиболее надежный среди оставшихся символов.

Процесс декодирования заканчивается, если эти символов однозначно определяют какую-либо комбинацию кода (являются правой частью системы уравнений, в которой содержится по крайней мере одна совместная подсистема линейно независимых уравнений). Если и в этом случае переданная комбинация оказалась нераспознанной, то к ранее отобранных символов добавляется еще один, наиболее надежный среди оставшихся, и снова предпринимается попытка отождествить выделенные символы с одной из комбинаций кода и т. д. Описанные операции продолжаются до тех пор, пока не окажется, что отобранные символы отличаются от какой-то одной комбинации в числе позиций, меньшем чем от всех остальных.

Определение вероятности правильного приема кодовой комбинации при описанной процедуре декодирования встречает большие математические трудности и требует решения некоторых задач, связанных с вариационными рядами [33]. Поэтому здесь мы ограничимся лишь вычислением ее оценок, для чего найдем вероятность того, что наиболее надежных символов приняты правильно. Эта вероятность легко определяется, если предположить, что передается комбинация , так как в этой ситуации (3.0.1) представляет собой выборку из множества случайных величин, распределенных по одному и тому же закону , а искомая вероятность совпадает с вероятностью того, что среди наибольших по абсолютной величине случайных величин (3.0.1) не будет ни одной, имеющей отрицательное значение:

(XII.4.2)

где

(XII.4.3)

и

(XII.4.4)

При (XII.4.2) определяет оценку сверху, а при — оценку снизу для вероятности правильного приема комбинации.

Из линейных форм, представляющих тот или иной код, можно составить различных подсистем, содержащих линейных форм и отличающихся одна от другой хотя бы одной формой. Среди этих подсистем имеется лишь подсистем, разрешимых относительно независимых переменных ( тогда, когда код является максиминным). В принятой комбинации с равной вероятностью любые символов могут оказаться наиболее надежными. Поэтому вероятность того, что представится возможным принять решение, используя точно символов, равна

(XII.4.5)

Эта величина позволяет судить о применимости формулы (XII.4.2) для расчета вероятности правильного приема комбинации при .

В заключение отметим: во-первых, проведенные рассуждения дают основание полагать, что при приеме по наиболее надежным символам коды, оптимальные с точки зрения максимума будут также оптимальными в смысле максимума Во-вторых, прием по наиболее надежным символам обеспечивает бблыпую вероятность правильного приема, чем метод Вагнера. Действительно, при приеме по наиболее надежным символам могут быть исправлены во всяком случае все ошибки, вплоть до -кратных, при условии, что правильно принятых символов имеют меру похожести, большую, чем неправильно принятые. В случае же приема по методу Вагнера могут быть исправлены все ошибки, вплоть до -кратных, при условии, что мера похожести неправильно принятых символов имеет наименьшее значение. Кроме того, необходимо отметить, что метод Вагнера в таком виде, как он изложен в [150], применим лишь к бинарным кодам, тогда как прием по наиболее надежным символам применим к любым кодам с произвольным основанием.

Наконец, следует отметить, что при идеальный прием в целом, метод Вагнера и прием по наиболее надежным символам оказываются эквивалентными.