4. Посимвольный метод приема и матрица трансформации

символов

Особенность посимвольного метода приема заключается в том, что в решающем устройстве (рис. II.1) каждый из случайных векторов (II.2.1) подвергается анализу для опознания сигнала . Эту процедуру часто называют демодуляцией элементарного сигнала и истолковывают как различение гипотез по данной выборке.

В простейшей ситуации признается наиболее похожим на элементарный сигнал [принимается гипотеза о том, что вектор является выборкой из распределения ] тогда, когда компонента окажется наибольшей:

В решающем устройстве при реализации этих условий вырабатывается выходной элементарный сигнал канала связи . Выходные и входные элементарные сигналы с одинаковыми номерами считают тождественными, несмотря на то, что они могут иметь различную физическую природу.

После выполнения указанных операций над всеми векторами образуется один из сложных сигналов множества , например :

(II.4.2)

который символически представляется в виде -значной комбинации

где совпадает с одним из выходных элементарных

сигналов канала, а — с соответствующим ему выходным символом канала

(II.4.4)

Вектор может быть интерпретирован различными способами (каждая его компонента может оказаться наибольшей). Следовательно, при передаче любого сигнала на выходе решающей схемы с определенной вероятностью реализуется один из элементов множества :

(II.4.5)

Таким образом, при посимвольном методе приема матрица трансформации сложных сигналов (II.3.1) оказывается квадратной, а множество , так же как и , можно рассматривать как множество всех -значных комбинаций, отличающихся друг от друга хотя бы в одной позиции.

Подчеркнем, что все символы комбинации (II.4.3) равноправны с точки зрения критерия похожести, так как наличие в ней символа указывает лишь на то, что сигнал наиболее «похож» на . Этот факт имеет важное значение для понимания того, почему посимвольный метод приема оказывается далеко не наилучшим способом демодуляции сложных сигналов.

Следует отметить также и то, что демодуляция но своему существу представляет процесс опознания элементарного сигнала, являющегося составной частью неизвестного сложного сигнала . Это обстоятельство часто упускают из вида, хотя оно приводит к целому ряду специфических особенностей. Так, например, не всегда оказываются обоснованными попытки использовать для оптимизации решающего устройства априорные вероятностные характеристики, присущие случайным последовательностям элементарных сигналов.

Статистические особенности процесса демодуляции элементарных сигналов определяются стохастической матрицей трансформации символов

(II .4.5)

где - вероятность того, что сигнал будет опознан как , когда в действительности -искаженный элементарный сигнал .

Канал называют симметричным, если элементы матрицы удовлетворяют условиям

(II.4.7)

Здесь — вероятность правильного приема символа; — вероятность трансформации символа в символ . Диаграмма переходных вероятностей для -того символа -ичного симметричного канала показана на рис. II.2. Двоичный симметричный канал () кратко обозначают ДСК.

Рис. II.2. Диаграмма переходных вероятностей b-ичного симметричного канала.

Стохастическая матрица (II.4.6) является важной статистической характеристикой канала, так как она во многом предопределяет вид матрицы трансформации сложных сигналов (II.3.1). Так, если векторы (II.2.1)статистически независимы, то

Другими словами, вероятность получить комбинацию при условии, что передавалась , равна произведению вероятностей трансформации символов комбинации в соответствующие по номерам позиций символы . Каналы, в которых выполняется условие (II.4.8), называют каналами без памяти.

В системах с симметричными каналами без памяти , если символы, расположенные на позиции в и , являются тождественными и в противном случае, поэтому

где — число позиций, в которых комбинации и отличаются друг от друга.

Пример. Рассмотрим случай корреляционного приема трех фазоманипулироваиных сигналов:

где .

Пусть

(II.4.11)

Тогда

(II.4.12)

и, следовательно, на выходе фильтров в момент отсчета образуются случайные величины (рис.(II.3):

(II.4.13)

Рис. II.3. Блок-схема корреляционного приемника трех фазоманипулированных сигналов.

(II.4.14)

(II.4.15)

где

(II.4.16)

(II.4.17)

(II.4.18)

Заметим, что величины статисстически не независимы, но каждая из них является линейной комбинацией двух статистически независимых величин и что является следствием ортогональности и . Если — стационарный процесс с нулевым средним, то и окажутся распределенными по нормальным законам (преобразование (II.4.12) включает в себя операцию интегрирования) со средними, равными нулю, и дисперсиями

где функция корреляции процесса .

Если предположить, что — некоррелированный белый шум — дельта-функция) и кратна , то

(II.4.20)

где —спектральная плотность помехи.

При сделанных предположениях, случайные величины оказываются распределенными по нормальным законам с дисперсиями (II.4.20) и средними, соответственно равными:

(II.4.21)

(II.4.22)

Вероятность правильной демодуляции сигнала (II.4.11) совпадает с вероятностью выполнения системы неравенств

(II.4.23)

После подстановки (II.4.13)-(II.4.15) в (II.4.23) получим

(II.4.24)

где

(II.4.25)

Пусть — фиксированное значение случайной величины . Тогда неравенства (II.4.24) будут выполняться, если при имеет место условие — , а при условие . Случайные величины и независимы, поэтому вероятность наступления указанных событий соответственно равна

и

,

а вероятность

где и — распределения величин и соответственно.

Среднее равно нулю [см. (II.4.21)], поэтому распределение симметрично относительно нуля, следовательно:

(II.4.27)

Легко показать, что остальные элементы стохастической матрицы трансформации символов (II.4.6) здесь выражаются через вероятность следующим образом:

(II.4.28)

(II.4.29)

Из этих соотношений не следует делать вывода о том, что при корреляционном приеме процедура опознания символов (II.4.1) всегда приводит к симметричному каналу. Так, например, по аналогии с предыдущим можно установить, что процесс демодуляции четырех элементарных сигналов с манипуляцией фазы на характеризуется величинами

(II.4.30)

(II.4.31)

где и — вероятности опознания сигнала с фазой как сигнала с фазами и соответственно;

и — распределения нормальные с одинаковыми дисперсиями (II.4.20) и средними, соответственно равными , и , см. (II.4.16).

Вероятность правильного опознания символа равна причем

(II.4.32)

(II.4.33)

Таким образом, канал имеет ярко выраженную асимметрию, но каждая строка матрицы трансформации символов содержит набор одних и тех же величин (II.4.30) — (II.4.32). Такие каналы иногда называют симметрическими.

Из приведенных примеров ясно, что расчет элементов матриц трансформации символов (II.4.6) проводится

весьма просто, если компоненты вектора статистически независимы или представлены в виде линейной комбинации конечного числа статистически независимых случайных величин. Заметим, что в теории вероятностей известны методы, позволяющие представить компоненты векторной случайной величины именно в таком виде [12, 22]. Однако для нелинейных приемников встречаются определенные трудности как в определении характеристик распределения случайных величин , так и при вычислении элементов матрицы (II.4.6). Это имеет место, например, при приеме по огибающей [5, 32, 39, 42], квадратурном приеме [39], приеме с полосовыми фильтрами и частотным дискриминатором [109] и др.