§ 2.3. Предельно возможная скорость сходимости оценок

Для несмещенных оценок оптимального решения с, каким бы способом они ни определялись, существует предельно возможная скорость сходимости. Она устанавливается неравенством Крамера —

где

- МКО (1.6.1) а

— совместная плотность распределения выходов объекта, имеющего вектор параметров с.

Чтобы упростить запись, мы не делаем различия в обозначениях случайных величин или процессов и принимаемых ими значений. Условимся также не вводить специальных обозначений для различных плотностей распределения: плотности распределения при различных аргументах различны, если не оговорено обратное. Такое соглашение, могущее вызвать протест у педантично настроенного читателя, в последнее время становится общеупотребительным даже в работах чисто математического характера. По существу, молчаливо пользовались подобным соглашением при записи плотности распределения помехи и ее корреляционной функции

Правая часть неравенства Крамера — Рао (2.3.1), определяющая нижнюю границу а значит, и максимально допустимую точность оценок, содержит так называемую информационную матрицу

Найдем более удобное выражение для информационной матрицы.

Совместная плотность распределения может быть представлена в виде произведения условных плотностей распределения

где Для нормального режима работы устойчивого динамического объекта как входные так и выходные величины представляют собой стационарные случайные дискретные процессы, статистические свойства которых не зависят от моментов времени.

Поскольку для оптимальной модели невязка при равна

то выход объекта можно представить в виде

где вектор наблюдений (1,3.45).

При фиксированных и с, очевидно, фиксированы и наблюдения Поэтому в силу (2.3.6) для условной плотности распределения с справедливо представление

где плотность распределения помехи не зависящая от момента времени Плотность распределения помехи удовлетворяет условиям

Дифференцируя (2.3.8) по и полагая получим

Следовательно,

Учитывая независимость помех при из (2.3.10) получйм

Из выражения совместной плотности распределения (2.3.4) следует, что

или, принимая во внимание (2.3.7),

Функция вектора параметров

называется логарифмической функцией правдоподобия. Ее градиент при равен в силу (2.3.14)

Поэтому информационную матрицу, определяющую нижнюю границу МКО, можно записать в виде

Учитывая свойства помехи (1.2.43), (1.2.44) и ее плотности распределения (2.3.11), правую часть равенства (2.3.15) после несложных преобразований можно привести к виду

Здесь матрица

— это нормированная информационная матрица (1.6.26), или, более подробно, (1.6.33). Скалярный же множитель

представляет собой широко известную в статистике фишеровскую информацию.

Таким образом, окончательно получаем, что информационная матрица равна произведению числа наблюдений фишеровской информации и нормированной информационной матрицы т. е.

Следовательно, неравенство Крамера — можно записать и в такой форме:

или, для матрицы

Но АМКО (2.2.1) есть предел при Следовательно, для АМКО имеет место неравенство

Правая часть этого неравенства, определяющая предельно возможную скорость сходимости любых несмещенных оценок зависит только от статистических характеристик помех (плотности распределения, дисперсии) и параметров идентифицируемого объекта (вектора его параметров — оптимального решения с). Левая же часть неравенства, т. е. зависит от плотности распределения помех функции потерь и, естественно, от способа определения оценки

Примеры фишеровской информации и дисперсий для типовых плотностей распределения приведены в табл. 2.1.

При заданной плотности и различных тот способ определения оценки лучший, для которого меньшая, т. е. для которого ближе к правой части неравенства (2.3.21). Возникаг естественный вопрос: можно ли достигнуть предельно возможной скорости сходимости оценок? И если да, то какой способ оценивания этому соответствует? Ответам на эти вопросы посвящены следующие параграфы.