§ 4.6. Оптимальные на классе функции потерь для АР-объектов

Для АР-объектов наименее благоприятная плотность распределения определяется решением вариационной задачи минимизации (4.4.10)

т. е.

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

Наименее благоприятная плотность, очевидно, должна обладать конечной дисперсией При этом из неравенства (4.5.12), справедливого для плотностей распределения с конечной дисперсией, следует, что

Но для любой нормальной плотности распределения имеет место равенство

Поэтому если классы V содержат нормальное распределение с какой-либо дисперсией то наименее благоприятная плотность распределения будет нормальна

а оптимальная на классе функция потерь будет квадратичной

В отличие от -объектов с простой помехой, где этот результат соответствовал классу распределений с ограниченной дисперсией для АР-объектов он соответствует всем классам, которые содержат нормальное распределение. Таких классов немало. К ним относятся классы если параметр не мал, то и класс Создается впечатление, что в подавляющем большинстве случаев для АР-объектов оптимальная на классе функция потерь квадратичная.

Такой чисто формальный подход не учитывает специфики идентификации АР-объектов. Дело в том, что АР-объект представляет собой систему, в которой входные воздействия отсутствуют, а движение в ней вызывается лишь помехами. При отсутствии помех идентифицировать АР-объект в установившемся режиме невозможно. Таким образом, в отличие от -объектов, в которых увеличение интенсивности помехи ухудшает условия идентификации, в АР-объектах увеличение интенсивности помехи улучшает условия идентификации.

Эти особенности приводят к необходимости сужения классов плотностей распределения помех за счет ограничения дисперсии помех снизу: Поэтому для АР-объектов мы будем рассматривать классы учитывающие это ограничение. При достаточно малых классы близки к основным классам V» и оптимальная на классе функция потерь квадратична. С увеличением нижней границы дисперсии оптимальные на классе функции потерь могут измениться и станут отличаться от квадратичной.

К сожалению, определить аналитически все эти оптимальные на классе функции потерь невозможно, и поэтому приходится прибегать к численным методам решения вариационных задач минимизации (4.6.1) на классах при различных значениях Для этой цели разработана специальная программа (программа авторегрессии), которая позволяет приближенно определить Этой программой решается задача нелинейного программирования вида (4.4.17) при к которой сводится исходная вариационная задача (см. § 4.4).

Сделаем некоторые замечания, относящиеся к применению этого метода. Полагая в уравнении (ограничение, соответствующее множителю Лаграцжа имеет вид и делая замену переменных получим

При численном решении этого уравнения приходится бесконечный интервал изменения заменять конечным интервалом При этом I не должно быть слишком велико, так как плотность распределения быстро убывает с ростом Из свойств дифференциального уравнения (4.6.7) следует, что при

Это значит, что при достаточно больших т. е. при плотность распределения приблизительно равна нормальной плотности распределения

Параметры зависят от и возможных ограничений, определяющих класс V принадлежности плотностей распределения Параметр и параметры, входящие в ограничения, должны быть такими, чтобы в точках и I решение удовлетворяло бы условию Это обеспечивает непрерывность Решая теперь численным методом вариационную задачу (4.6.1) при ограничении

где

находим приближенное выражение для наименее благоприятной плотности распределения

Выбирая несколько различных значений множителя можно установить качественный вид значит, и качественный вид приближенно оптимальной на классе функции потерь и ее производной

Примеры наименее благоприятных плотностей распределения и производных оптимальных на классе функций потерь для различных классов распределений V приведены в табл. 4.2 (для классов при различных и табл. 4.3 (для классов ). В тех случаях, когда аналитическое решение отсутствует, приводятся результаты численных расчетов и соответственно). Мы не выписываем в табл. 4.2 и 4.3 подробных громоздких выражений для функций и их параметров, а ограничиваемся качественными графиками производной дающими наглядное представление об оптимальной на классе функции потерь. В каждом конкретном случае нетрудно получить и количественно точные графики. Оставим эту возможность заинтересованному читателю.

Из табл. 4.2 видно, что, в соответствии со сделанным выше замечанием, с ростом нижней границы дисперсии квадратичная функция потерь преобразуется в неквадратичную (линейная производная становится нелинейной).

Сопоставляя данные табл. 4.3 и 4.2, нетрудно также заметить, что для АР-объектов наряду с линейной и релейной производными функций потерь мы для определенных классов V встречаемся с нелинейно-релейными производными функций потерь. Подчеркнем, что при достаточно большой дисперсии помех для -объектов с простой помехой производная характеризовалась насыщением при превышении определенного порога, тогда как для АР-объектов при достаточно больших близка к линейной функции. Это является следствием уже ранее отмеченного свойства: увеличение интенсивности помех улучшает условия идентификации для АР-объектов и ухудшает условия идентификации для -объектов с простой помехой.