§ 5.4. Одномерные абсолютно оптимальные на классе алгоритмы

Абсолютно оптимальные алгоритмы оценивания параметра сдвига подробно исследовались в § 3.4. Там же рассматривались и некоторые оптимальные алгоритмы. Рассмотрим вначале абсолютно оптимальные на классе алгоритмы оценивания параметра сдвига и выясним их особенности. Такие одномерные алгоритмы, минимизирующие средние потери

будут иметь вид

где — оптимальная на классе функция потерь и ее производная, определяемые имеющимся уровнем априорной информации о помехах, т. е. классами распределений (см. табл. 4.1), а коэффициент усиления, равный

Удобно одномерный алгоритм (5.4.2), (5.4.3) записать в такой форме

где постоянная, нормированная производная функции потерь.

Приведем примеры оптимальных на классе алгоритмов (5.4.4) для типовых классов V, характеризующих уровень априорной информации о помехах. Воспользуемся для этой цели табл. 4.1. Класс невырожденных распределений В этом случае

и, значит, абсолютно оптимальный на классе алгоритм (5.4.4) — релейный:

Свойства абсолютно оптимального релейного алгоритма, а также оптимального релейного алгоритма при разных коэффициентах усиления рассматривались в § 3.4. Гам же была установлена его работоспособность при весьма широких условиях. Любое отклонение наблюдений от оценки как бы велико оно ни было, преобразуется в величину, равную ±1, а коэффициент усиления с ростом стремится к нулю. Асимптотическая дисперсия оценок, порождаемых робастным релейным алгоритмом (5.4.6), удовлетворяет неравенству

Класс распределений с ограниченной дисперсией этого класса

и, значит, абсолютно оптимальный на классе алгоритм (5.4.4) — линейный:

Абсолютно оптимальный на классе алгоритм (5.4.9) не зависит от дисперсия помех. Асимптотическая дисперсия оценок, порождаемых им, удовлетворяет неравенству

Класс приближенно нормальных распределений Для этого класса

где параметр определяется из трансцендентного уравнения (4.5.23), и, значит, абсолютно оптимальный на классе алгоритм — линейно-релейный:

Значения параметра зависящего от степени засорения приведены в табл. 5.1.

Таблица 5.1 (см. скан)

Абсолютно оптимальный на классе линейно-релейный алгоритм характеризуется тем, что при резком отличии наблюдения от оценки он уменьшает невязку до постоянной величины т. е. он ограничивает модуль невязки некоторой фиксированной величиной. Асимптотическая дисперсия оценок линейно-релейного алгоритма удовлетворяет условию

Класс приближенно экспоненциальных распределений В этом случае

и, значит, абсолютно оптимальный на классе алгоритм — релейный:

В отличие от алгоритма (5.4.6) в алгоритме (5.4.15) изменен коэффициент усиления в раз. Асимптотическая дисперсия оценок этого релейного алгоритма удовлетворяет условию

Класс приближенно равномерных распределений Для этого класса

и, значит, абсолютно оптимальный на классе алгоритм — релейный с зоной нечувствительности:

Оценка не изменяется, если невязка лежит в пределах зоны нечувствительности, и пересчитывается, если невязка превысит размер зоны нечувствительности. Асимптотическая дисперсия оценок этого релейного алгоритма с зоной нечувствительности удовлетворяет условию

Класс финитных распределений В этом случае

и, значит, абсолютно оптимальный на классе алгоритм — нелинейный проекционный:

где

и

Если же неизвестен параметр масштаба, то следует воспользоваться абсолютно оптимальным на классе алгоритмом (5.3.4), который для случая оценки параметра сдвига представится в виде:

где

и

где

Приведем примеры абсолютно оптимальных на классе алгоритмов с настройкой параметра масштаба для типовых классов

1. Класс

2. Класс

3. Класс

где определены в (5.4.26), (5.4.11) и (4.5.23) соответственно. Некоторые значения приведены в табл. 5.1.

Приведем числовые примеры. Рассмотрим класс распределений него входят все распределения, для которых Наихудшим на этом классе является распределение Лапласа, и соответственно абсолютно оптимальным алгоритмом будет релейный алгоритм (5.4.6). Исследование этого алгоритма проводилось в условиях помех, для которых На рис. 5.6 изображены кривые изменения ошибок, порождаемых релейным алгоритмом (5.4.6) при наихудших на классе лапласовых помехах с (кривая б), при гауссовых помехах этого класса с (кривая а) и помехах Коши с (кривая в). Кривые получены путем усреднения по 100 реализациям. Наименьшую скорость сходимости алгоритм имеет в случае лапласовых помех.

Рис. 5.6

Рис. 5.7

Класс распределений рассмотрим на примере распределений, дисперсия которых не превосходит единицы. Абсолютно оптимальным алгоритмом на этом классе является линейный алгоритм (5.4.9). Результаты исследования этого алгоритма на ЭВМ в условиях наихудшего распределения из класса (нормальное распределение с дисперсией, равной единице) и лапласова распределения с дисперсией, равной 0,25, приведены на рис. 5.7. Кривые отражают зависимость

ошибок оценивания полученных усреднением по 100 реализациям, как функций при гауссовой и лапласовой помехах соответственно. Как и следовало ожидать, оценки в первом случае хуже оценок для второго случая.

Для класса приближенно нормальных распределений помеха распределена по закону

Параметры распределения помехи при моделировании были приняты: либо

Абсолютно оптимальным на этом классе алгоритмом в соответствии с (5.4.11) и (5.4.12) и при принятых значениях параметров является линейно-релейный алгоритм:

На рис. 5.8 изображены кривые изменения ошибок порождаемых этим алгоритмом при (кривая а) и (кривая б). Алгоритм одинаково хорошо справляется с выбросами разной величины (кривые практически совпадают).

Рис. 5.8

Рис. 5.9

При тех же значениях параметров абсолютно оптимальный на классе алгоритм с настройкой параметра масштаба имеет вид (5.4.31). На рис. 5.9 изображены кривые изменения ошибок порождаемых этим алгоритмом для - 10 (кривая (кривая Как видно, и в этом случае на работу алгоритма практически не влияет величина выбросов (кривые совпадают).

Сравнение кривых изменения ошибок, порождаемых алгоритмом без настройки параметра масштаба и алгоритмом с настройкой параметра масштаба, показывает, что алгоритм с настройкой параметра масштаба при малых порождает оценки, которые хуже, чем у алгоритма без настройки параметра масштаба. Это является естественной платой за незнание свойств распределения.

Рис. 5.10

Изменение ошибок порождаемых абсолютно оптимальным на классе финитных распределений алгоритмом (5.4.21), изображены на рис. 5.10. Кривая соответствует работе алгоритма в условиях принадлежащих классу равномерно распределенных помех, кривая в условиях помех, имеющих наихудшее на классе распределение — «косинус-квадрат». Оценки во втором случае хуже оценок для первого случая.