§ 8.4. Алгоритмы с упрощенным градиентом функции потерь

Рассмотрим общее условие оптимальности (1.4.15)

Для оптимальной динамической настраиваемой модели (1.3.44)

Поэтому в абсолютно оптимальных алгоритмах идентификации, которые были рассмотрены в главе 3, вместо вектора наблюдений фигурирует вектор что существенно усложняет алгоритмы идентификации. Реализация требует использования моделей чувствительности с настраиваемыми параметрами. Поэтому важно обсудить

возможность упрощения алгоритмов, при котором надобность в использовании моделей чувствительности отпадает. А такая возможность существует.

Рассмотрим подробнее общее условие оптимальности (8.4.1) при замене в нем из (8.4.2):

Это условие оптимальности выполняется при

Но при для минимально-фазового по возмущению объекта и оптимальной настраиваемой модели (см.

Поэтому из (8.4.4) получаем

В силу независимости а значит, и из (8.4.6) следуют равенства

и

которые ранее (см. (1.4.18) — (1.4.21)) были использованы для установления инвариантности оптимального решения с относительно любых симметричных функций потерь. Теперь мы используем (8.4.7) для построения упрощенных алгоритмов. Условие оптимальности (8.4.3) можно заменить более простым:

Достаточным для выполнения условия псевдоградиентности

для минимально-фазоэых объектов, описываемых уравнением (1.2.1), является неотрицательность вещественной части полинома по помехе, т. е.

Упрощенное условие оптимальности (8.4.9) порождает упрощенный псевдоградиентный алгоритм

Представляя в рекуррентной форме, аналогично тому, как это делалось в § 1.7 и § 7.4,

находим упрощенные акселерантные псевдоградиентные алгоритмы идентификации (8.4.12), (8.4.13).

Если в алгоритмах (8.4.12), (8.4.13) заменить на и на то мы получим упрощенные акселерантные абсолютно оптимальные на классе алгоритмы

и

Таким образом, упрощение, которое достигается в такого рода алгоритмах, состоит в том, что в них не фигурируют модели чувствительности. Внешне эти алгоритмы напоминают алгоритмы идентификации как бы при статических оптимальных моделях.

Эти упрощенные алгоритмы остаются справедливыми и для идентификации неминимально-фазовых по возмущению объектов. В этом случае, как следует из результатов § 6.2 — 6.4, в условии (8.4.6) будет фигурировать преобразованная помеха которая, хотя и является линейным преобразованием но таким, которое оставляет некоррелированной. Достаточным для выполнения условия

псевдоградиентности теперь является условие неотрицательности вещественной части полинома (6.2.14), фигурирующего в уравнении модели (6.2.19), которое имеет вид

На рис. 8.3 штриховкой выделена область, где условие (8.4.16) выполняется как для минимально-фазового, так и для неминимально-фазового по возмущению объекта, полином возмущения которого равен

Рис. 8.3

Для указанной области параметров гарантируется, что упрощенные алгоритмы (8.4.12), (8.4.13) сходятся но векторам оценок к векторам параметров объекта и