§ 7.7. Выбор оптимальных входных воздействий

Рассмотрим возможность акселеризации оценок оптимального решения путем надлежащего выбора входных воздействий. Для простоты ограничимся вначале динамическими объектами с простой помехой при

Статистические свойства входных воздействий существенно влияют на нормированную информационную матрицу а значит, и на ее оценку

Выбор входных воздействий целесообразно подчинить, как это принято в теории планирования эксперимента, минимизации скалярных функционалов оценки обратной нормированной информационной матрицы т. е.

Сопоставляя с учетом (7.6.26) заключаем, что

Отсюда следует, что задачу минимизации (7.7.2) можно заменить следующей близкой к ней задачей:

Выше было показаыо, что матрица пропорциональна она характеризует качество процесса идентификации, осуществляемого линейными акселерантными алгоритмами на каждом шаге. Найдем оптимальные входные воздействия которые являются решением задачи минимизации В качестве скалярного функционала матрицы выберем ее детерминант

что соответствует в теории планирования эксперимента критерию -оптимальности. Этот критерий соответствует минимальному объему эллипсоида рассеяния оценок, т. е. минимальной обобщенной дисперсии оценок. Итак, мы приходим к задаче минимизации

Предположим, что входные воздействия могут подчиняться ограничениям, например,

Для решения этой задачи минимизации найдем прежде всего соотношение между детерминантами матриц Воспользуемся рекуррентным соотношением (7.6.5), которое удобно представить в такой форме:

Детерминант произведения двух квадратных матриц равен произведению детерминантов этих матриц, т. е.

Используя тождество для векторов

и полагая в нем

запишем (7.7.9) в виде

или, окончательно,

Отсюда следует, что задача минимизации детерминанта на шаге сводится к задаче максимизации квадратичной формы т. е. к задаче

Вспоминая, что вектор наблюдений для РАР-обьекта с простой помехой имеет вид

и выделяя в нем входное воздействие запишем квадратичную форму в (7.7.14) в виде

где приняты обозначения

элемент матрицы -матрица образована вычеркиванием столбца и строки в матрице :

Максимальное значение неотрицательно определенной квадратичной формы (7.7.16) при наличии ограничения (7.7.7) достигается, когда каждое из слагаемых этой формы принимает максимальное значение. Первое слагаемое максимально при второе — при Следовательно, вся квадратичная форма (7.7.16) максимальна при

Последовательный выбор входных воздействий сводится к использованию в рекуррентных алгоритмах идентификации (7,6.4) - (7.6.6) соотношения (7.7.21). Таким образом, акселерантные рекуррентные линейные алгоритмы с последовательным выбором входных воздействий запишутся в виде

где

— вектор наблюдений размерности

а

— вектор размерности Блок-схема линейного акселерантного алгоритма с последовательным выбором оптимальных входных

Рис. 7.6

воздействий приведена на рис. 7.6. Она содержит специальный блок формирования входных воздействий идентифицируемого обьекта.

Нетрудно распространить последовательный выбор оптимальных входных воздействий на общий случай акселерантных оптимальных на классе алгоритмов идентификации. Они будут иметь вид

где

вектор наблюдений размерности в котором

Вектор получается из вектора (7 7.29) устранением компоненты является вектор-столбцом матрицы в котором устранен элемент. Блок-схема акселерантного абсолютно оптимального на классе алгоритма с последовательным выбором входных воздействий изображена на рис. 7.7.

Рис. 7.7

В тех случаях, когда мы имеем возможность управлять входными воздействиями, следует использовать эту возможность. Она позволит существенно улучшить свойства алгоритмов, в том числе и асимптотические свойства. Приведенные выше алгоритмы используют, по существу, последовательный метод планирования эксперимента.