§ 4.8. О грубости оценок оптимального решения

Для того чтобы показать важность понятия оптимальной на классе функции потерь, рассмотрим поведение оценок оптимального решения с (см. § 2.4) в тех случаях, когда «оптимальная» функция потерь принимается равной и определяется по предполагаемой плотности распределения помехи а истинная плотность распределения помехи несколько отличается от нее. Представим истинную плотность распределения в виде «засоренной» предполагаемой плотности распределения

где произвольная симметричная плотность распределения, дисперсия которой много больше дисперсии предполагаемой плотности распределения Параметр а характеризует степень засорения.

При малом засорении () истинная плотность распределения будет мало отличаться от предполагаемой даже тогда, когда велико. Пусть настолько велико, что при

Найдем АМКО для функции потерь которую мы считаем оптимальной, но которая в действительности таковой не является. АМКО находится из (4.2.6) при и она равна

Здесь дисперсия помех, равная

Учитывая условие (4.8.2), заключаем, что

Если засорение помехи отсутствует, что соответствует в (4.8.1), то В этом, оптимальном, случае АМКО становится равной

Выясним влияние на АМКО отклонения предполагаемой плотности распределения от истинной Допустим вначале, что предполагаемая плотность распределения нормальна, Оптимальная функция потерь в этом случае (см. табл. 2.2) квадратичная. Как следует и из табл. 2.1, фишеровская и квазифишеровские информации 1-го и 2-го родов соответственно равны

Подставляя эти значения в выражения для и (4.8.6), получим

и

отличаются лишь дисперсиями помех причем, как следует Сопоставим эти АМКО для типовых объектов.

Для -объектов с простой помехой нормированная информационная матрица представляет собой матрицу, не зависящую ни от с, ни от Поэтому и (4.8.8) получим

и

или

Но Поэтому действительная значительно больше предполагаемой т. е.

Этот факт означает, что малое отклонение предполагаемой плотности распределения от истинной может вызывать сильное увеличение т. е. резкое ухудшение точности оценки оптимального решения

Таким образом, при квадратичной функции потерь для -объектов с простой помехой «засорение» помехи приводит к существенному

изменению оценок оптимального решения. В этой ситуации оценки с ростом очень медленно стремятся к оптимальному решению

Предположим теперь, что в (4.8.1) засоренная помеха имеет плотность распределения типа Коши (см. табл. 4.1), т. е. что а значит, и В этом случае из (4.8.9) получаем поэтому с ростом не будет вовсе стремиться к оптимальному решению с - 6, т. е. оценка несостоятельна, как говорят статистики. По квадратичная функция потерь, как было указано в главе 3, соответствует МНК. Таким образом, в описанных выше условиях МНК приводит либо к очень медленной сходимости оценок либо к их расходимости. Вот плата за слишком доверчивое отношение к точности полной априорной информации относительно помех. Эти выводы справедливы и в отношении оценок порождаемых соответствующими рекуррентными алгоритмами.

Такая ситуация, когда малые отклонения предполагаемой плотности распределения от действительной приводят к резким отклонениям результатов, характеризует негрубость оценок. Понятие грубости, введенное в теорию динамических систем А. А. Андроновым, позволило выделить широкий класс систем, свойства которых качественно не изменяются при малом изменении параметров систем. Это понятие играет важную роль и в задачах идентификации, но почему-то оно до последнего времени не использовалось в полной мере.

Таким образом, мы приходим к выводу, что МНК при идентификации -объектов с простой помехой негруб. Негрубые методы, как правило, не могут быть практически использованы.

Совершенно иная ситуация возникает при идентификации АР-объектов. Для АР-объектов как с простой, так и с преобразованной помехой нормированные информационные матрицы, как видно из (1.6.39), равны

и

где

Поскольку дисперсии в нормированных информационных матрицах являются множителями, то из (4.8.7), (4.8.8) получаем

и

Отсюда видно, что при квадратичной функции потерь для АР-объектов не зависят от дисперсий и для всех имеет место равенство

АМКО в этом случае инвариантна относительно любой плотности распределения помех с конечной дисперсией. В этом случае оценки МНК оптимального решения грубые.

Для -объектов с преобразованной помехой и РАР-объектов нормированные информационные матрицы равны (см. (1.6.36), (1.6.41))

где для -объектов с преобразованной помехой — неотрицательно определенные блочные -матрицы (1.6.37) и (1.6.38), а для РАР-объектов неотрицательно определенные блочные -матрицы (1.6.42), (1.6.43). Полагая в и затем и подставляя эти нормированные информационные матрицы в (4.8.7), (4.8.8), получим для -объектов с преобразованной помехой и для РАР-объектов

и

Для выяснения свойств РАР-объектов и, в частности, -объектов с преобразованной помехой необходимо иметь какой-либо способ сравнения этих матриц. Можно предположить, что этот общий случай занимает промежуточное положение между рассмотренными выше случаями -объектов с простой помехой и АР-объектов. Будем говорить, что частично много больше, чем АМКО

если для некоторого числа имеет место матричное неравенство

или, что эквивалентно,

где единичные матрицы соответствующих размерностей. Учитывая выражения АМКО (4.8.18), (4.8.19) и структуру блочных матриц или (1.6.37), (1.6.38), нетрудно проверить, что при

неравенство (4.8.21) выполняется. Отсюда следует, что МНК в этом случае не груб по отношению к оцениванию параметров и груб по отношению к оцениванию параметров

При произвольном выборе функции потерь можно получить большие проигрыши в точности оценки оптимального решения с. Это иллюстрировалось на примерах в