§ 5.5. Многомерные абсолютно оптимальные на классе алгоритмы

Конкретный вид многомерного абсолютно оптимального на классе алгоритма, который следует из общих алгоритмов (5.2.21), (5.2.22), существенно зависит от вида идентифицируемого объекта и от адекватной априорной информации об объекте. Так, для -объектов и РАР-объектов адекватная априорная информация задастся как более широкими классами так и более узкими классами -Для АР-объектов адекватная априорная информация задается узкими классами Количество конкретных многомерных абсолютно оптимальных на классе алгоритмов весьма велико. Поэтому мы здесь ограничимся наиболее интересными с практической точки зрения примерами.

Для -объектов с простой помехой, плотность распределения которой принадлежит наиболее широкому классу алгоритм — релейный. Он совпадает с абсолютно оптимальным релейным алгоритмом (3.5.16), (3.5.17), если в выражении матрицы усиления положить где постоянная, определяющая класс (4.1.3). Таким образом, абсолютно оптимальный на наиболее широком классе алгоритм является рекуррентным алгоритмом

Если же плотность распределения помехи принадлежит классу (4.1.4), т. е. обладает ограниченной дисперсией, то абсолютно оптимальный на этом классе алгоритм — линейный. Он совпадает с абсолютно оптимальным линейным алгоритмом (3.5.12), (3.5.13) и не зависит от постоянной определяющей класс Отсюда следует, что в этом случае абсолютно оптимальным алгоритмом на классе является рекуррентный алгоритм МНК.

Приведем результаты моделирования многомерных абсолютно оптимальных на классе алгоритмов идентификации -объекта, описываемого уравнением

где независимые последовательности типа дискретного белого шума.

Изменение ошибки порождаемое абсолютно оптимальным на классе алгоритмом, т. е. алгоритмом МНК, приведено на рис. 5.11: для лапласовой помехи кривая а, для нормальной помехи кривая Аналогичные кривые, полученные для абсолютно оптимального на классе (при алгоритма, алгоритма МНМ, изображены на рис. 5.12: для нормальной помехи кривая а, для лапласовой помехи кривая

Если плотность распределения помехи принадлежит классу например, представляет собой смесь двух нормальных распределений: то абсолютно оптимальный на этом классе алгоритм можно представить в виде:

где при при Изменение ошибки порождаемое этим алгоритмом, приведено на рис. 5.13 (кривая а). Здесь же изображено изменение ошибки, порождаемое алгоритмом МНК, примененном в этом неадекватном ему случае (кривая б). Из этого рисунка видно, что применение алгоритма МНК в случае приближенно нормальных помех может резко ухудшить точность идентификации.

Рис. 5.11

Рис. 5.12

Рассмотрим теперь результаты моделирования абсолютно оптимальных на классе алгоритмов идентификации АР-объекта, описываемого уравнением Для

Рис. 5.13

класса распределений как это следует из результатов § 4.7, абсолютно оптимальные алгоритмы на этом классе имеют вид (5.5.2), где нелинейная функция, изображенная на рис. 5.14 (см. также табл. 4.3, пункт 2). Рассматривалась помеха распределенная по закону Коши

На рис, 5.15 показано изменение ошибки полученное в результате моделирования (кривая в). Здесь же для сравнения приведена аналогичная кривая соответствующая алгоритму МНК. Из этих результатов видно, что точность идентификации АР-объекта абсолютно оптимальным алгоритмом (5.5.2) значительно выше, чем алгоритмом МНК.

Рис. 5.14

(кликните для просмотра скана)

Как было показано в § 4.7, алгоритм вида (5.5.2) с нелинейностью показанной на рис. 5.14, является приближенно абсолютно оптимальным на классе и для -объектов. Этот факт иллюстрируется рис. 5.16, на котором изображено изменение ошибки при идентификации -объекта (5.5.1) с помехой, распределенной по закону Коши (5.5.3) (кривая а). Здесь же приведена аналогичная зависимость для алгоритма МНК (кривая б).