§ 1.4. Критерий качества идентификации и оптимальное решение

Качество идентификации, как уже упоминалось в § 1.1, определяется средними потерями

где функция потерь обычно представляет собой четную функцию невязки:

Наиболее распространенные функции потерь — квадратичные, Реже применяются модульные функции потерь Еще реже используют иные функции потерь, отличные от квадратичных и модульных.

Метод минимизации квадратичного критерия

соответствует широко распространенному методу наименьших квадратов (МНК). Этот метод приводит к решению системы линейных алгебраических уравнений (так называемой системы нормальных уравнений), и поэтому оптимальное решение с минимизирующее функционал (1.4.3), может быть выражено в явной аналитической форме Через корреляционные функции.

Минимизация же неквадратичных критериев приводит к необходимости решения нелинейной системы уравнений. В этом случае оптимальное решение с, как правило, может быть найдено лишь приближенно. Найдем условия, определяющие оптимальное решение с.

Вудем предполагать, что функция потерь дважды дифференцируема по аргументу. Тогда условия, определяющие оптимальное

решение запишутся при в виде:

Здесь и далее оператор

является вектор-столбцом, размерность вектора ; для упрощения записи мы полагаем

и

Векторы, фигурирующие в (1.4.4),

и

представляют собой градиенты средних потерь и функции потерь соответственно. Матрицы, фигурирующие в (1.4.5),

представляют собой матрицы Гессе — матрицы вторых производных функции средних потерь и функции потерь соответственно. Частные производные в (1.4.8), (1.4.10) понимаются как обобщенные функции. Матричное неравенство (1.4.5) означает положительную определенность матрицы Гессе средних потерь; оно представляет собой условие идентифицируемости, которое подробно обсуждается ниже.

Далее, как правило, мы будем рассматривать лишь тот случай, когда условия оптимальности (1.4.4), (1.4.5) определяют единственное решение с не оговаривая этого каждый раз. Замечая, что

где штрих у означает производную по аргументу запишем условие оптимальности (1.4.4) в такой форме:

Для оптимальной настраиваемой модели невязка равна (1.3.50)

следовательно,

поэтому условие оптимальности (1.4.4) запишется в виде

Вспоминая, что (см. (1.3.47))

получаем в общем случае

Заменив в условии оптимальности из (1.4.17), будем иметь

Этому условию удовлетворяет оптимальное решение т. е. вектор параметров настраиваемой модели равен с. При как уже упоминалось (см. (1.3.52)), невязка равна помехе:

Поэтому из (1.4.18) при находим

Гак как а значит, и взаимно независимы, то из (1.4.20) следует

Это равенство имеет место для любых четных функций потерь: поскольку для них и поэтому (см. (1.2.44))

Таким образом, оптимальное решение с удовлетворяет условию оптимальности (1.4.18) при любых четных функциях потерь. Иначе говоря, оптимальное решение с инвариантно относительно четных функций потерь. Именно это обстоятельство часто используется для обоснования выбора квадратичной функции потерь как наиболее простой и допускающей часто нахождение оптимального решения или его оценок в аналитической форме.

Вектор фигурирующий в условии оптимальности (1.4.15), представляет собой вектор коэффициентов чувствительности. Обозначим его через так что

или, учитывая (1.4.17),

Здесь матрица коэффициентов чувствительности.

Используя уравнение оптимальной настраиваемой модели (1.3.44), которое мы перепишем в виде

и определение вектора наблюдений нетрудно показать, что матрицу коэффициентов чувствительности можно представить в виде блочной матрицы, содержащей нулевые векторы и векторы коэффициентов чувствительности т. е.

Подставляя (1.4.25) в (1.4.23), получим разностное уравнение относительно векторов коэффициентов чувствительности

Это уравнение определяет модель чувствительности. Сопоставляя уравнение оптимальной настраиваемой модели (1.4.24) и уравнение

модели чувствительности (1.4.26), заключаем, что уравнения модели чувствительности получаются из уравнения оптимальной настраиваемой модели по простому правилу: выходные величины настраиваемой модели заменяются на векторы коэффициентов чувствительности а правая часть уравнения модели

— на вектор наблюдений По существу, модель чувствительности представляет собой динамическую систему с настраиваемыми параметрами и внешним воздействием (рис. 1.13).

Рис. 1.13

При из (1.4.26) получаем

и динамическая модель чувствительности вырождается. Вектор коэффициентов чувствительности становится равным вектору наблюдений В этом случае соответствующем РАР-объектам с простой помехой, условие оптимальности принимает простой вид

Для РАР-объектов с преобразованной помехой условие оптимальности можно записать в виде

где определяется уравнением чувствительности (1.4.26). Подчеркнем еще раз, что наблюдения а значит, и коэффициенты

чувствительности входящие в условия оптимальности, предполагаются стационарными. Их вероятностные характеристики не зависят от момента времени Условия оптимальности позволяют не только установить ряд важных свойств оптимального решения с, но и, как будет показано далее, сформировать наилучшие, в определенном смысле, алгоритмы оценивания оптимального решения,