Главная > Информационная теория идентификации
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 1.4. Критерий качества идентификации и оптимальное решение

Качество идентификации, как уже упоминалось в § 1.1, определяется средними потерями

где функция потерь обычно представляет собой четную функцию невязки:

Наиболее распространенные функции потерь — квадратичные, Реже применяются модульные функции потерь Еще реже используют иные функции потерь, отличные от квадратичных и модульных.

Метод минимизации квадратичного критерия

соответствует широко распространенному методу наименьших квадратов (МНК). Этот метод приводит к решению системы линейных алгебраических уравнений (так называемой системы нормальных уравнений), и поэтому оптимальное решение с минимизирующее функционал (1.4.3), может быть выражено в явной аналитической форме Через корреляционные функции.

Минимизация же неквадратичных критериев приводит к необходимости решения нелинейной системы уравнений. В этом случае оптимальное решение с, как правило, может быть найдено лишь приближенно. Найдем условия, определяющие оптимальное решение с.

Вудем предполагать, что функция потерь дважды дифференцируема по аргументу. Тогда условия, определяющие оптимальное

решение запишутся при в виде:

Здесь и далее оператор

является вектор-столбцом, размерность вектора ; для упрощения записи мы полагаем

и

Векторы, фигурирующие в (1.4.4),

и

представляют собой градиенты средних потерь и функции потерь соответственно. Матрицы, фигурирующие в (1.4.5),

представляют собой матрицы Гессе — матрицы вторых производных функции средних потерь и функции потерь соответственно. Частные производные в (1.4.8), (1.4.10) понимаются как обобщенные функции. Матричное неравенство (1.4.5) означает положительную определенность матрицы Гессе средних потерь; оно представляет собой условие идентифицируемости, которое подробно обсуждается ниже.

Далее, как правило, мы будем рассматривать лишь тот случай, когда условия оптимальности (1.4.4), (1.4.5) определяют единственное решение с не оговаривая этого каждый раз. Замечая, что

где штрих у означает производную по аргументу запишем условие оптимальности (1.4.4) в такой форме:

Для оптимальной настраиваемой модели невязка равна (1.3.50)

следовательно,

поэтому условие оптимальности (1.4.4) запишется в виде

Вспоминая, что (см. (1.3.47))

получаем в общем случае

Заменив в условии оптимальности из (1.4.17), будем иметь

Этому условию удовлетворяет оптимальное решение т. е. вектор параметров настраиваемой модели равен с. При как уже упоминалось (см. (1.3.52)), невязка равна помехе:

Поэтому из (1.4.18) при находим

Гак как а значит, и взаимно независимы, то из (1.4.20) следует

Это равенство имеет место для любых четных функций потерь: поскольку для них и поэтому (см. (1.2.44))

Таким образом, оптимальное решение с удовлетворяет условию оптимальности (1.4.18) при любых четных функциях потерь. Иначе говоря, оптимальное решение с инвариантно относительно четных функций потерь. Именно это обстоятельство часто используется для обоснования выбора квадратичной функции потерь как наиболее простой и допускающей часто нахождение оптимального решения или его оценок в аналитической форме.

Вектор фигурирующий в условии оптимальности (1.4.15), представляет собой вектор коэффициентов чувствительности. Обозначим его через так что

или, учитывая (1.4.17),

Здесь матрица коэффициентов чувствительности.

Используя уравнение оптимальной настраиваемой модели (1.3.44), которое мы перепишем в виде

и определение вектора наблюдений нетрудно показать, что матрицу коэффициентов чувствительности можно представить в виде блочной матрицы, содержащей нулевые векторы и векторы коэффициентов чувствительности т. е.

Подставляя (1.4.25) в (1.4.23), получим разностное уравнение относительно векторов коэффициентов чувствительности

Это уравнение определяет модель чувствительности. Сопоставляя уравнение оптимальной настраиваемой модели (1.4.24) и уравнение

модели чувствительности (1.4.26), заключаем, что уравнения модели чувствительности получаются из уравнения оптимальной настраиваемой модели по простому правилу: выходные величины настраиваемой модели заменяются на векторы коэффициентов чувствительности а правая часть уравнения модели

— на вектор наблюдений По существу, модель чувствительности представляет собой динамическую систему с настраиваемыми параметрами и внешним воздействием (рис. 1.13).

Рис. 1.13

При из (1.4.26) получаем

и динамическая модель чувствительности вырождается. Вектор коэффициентов чувствительности становится равным вектору наблюдений В этом случае соответствующем РАР-объектам с простой помехой, условие оптимальности принимает простой вид

Для РАР-объектов с преобразованной помехой условие оптимальности можно записать в виде

где определяется уравнением чувствительности (1.4.26). Подчеркнем еще раз, что наблюдения а значит, и коэффициенты

чувствительности входящие в условия оптимальности, предполагаются стационарными. Их вероятностные характеристики не зависят от момента времени Условия оптимальности позволяют не только установить ряд важных свойств оптимального решения с, но и, как будет показано далее, сформировать наилучшие, в определенном смысле, алгоритмы оценивания оптимального решения,

1
Оглавление
email@scask.ru