Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 1.4. Критерий качества идентификации и оптимальное решениеКачество идентификации, как уже упоминалось в § 1.1, определяется средними потерями
где функция потерь
Наиболее распространенные функции потерь — квадратичные, Метод минимизации квадратичного критерия
соответствует широко распространенному методу наименьших квадратов (МНК). Этот метод приводит к решению системы линейных алгебраических уравнений (так называемой системы нормальных уравнений), и поэтому оптимальное решение с минимизирующее функционал (1.4.3), может быть выражено в явной аналитической форме Через корреляционные функции. Минимизация же неквадратичных критериев приводит к необходимости решения нелинейной системы уравнений. В этом случае оптимальное решение с, как правило, может быть найдено лишь приближенно. Найдем условия, определяющие оптимальное решение с. Вудем предполагать, что функция потерь решение
Здесь и далее оператор
является вектор-столбцом,
и
Векторы, фигурирующие в (1.4.4),
и
представляют собой градиенты средних потерь и функции потерь соответственно. Матрицы, фигурирующие в (1.4.5),
представляют собой матрицы Гессе — матрицы вторых производных функции средних потерь и функции потерь соответственно. Частные производные в (1.4.8), (1.4.10) понимаются как обобщенные функции. Матричное неравенство (1.4.5) означает положительную определенность матрицы Гессе средних потерь; оно представляет собой условие идентифицируемости, которое подробно обсуждается ниже. Далее, как правило, мы будем рассматривать лишь тот случай, когда условия оптимальности (1.4.4), (1.4.5) определяют единственное решение с не оговаривая этого каждый раз. Замечая, что
где штрих у означает производную по аргументу
Для оптимальной настраиваемой модели невязка равна (1.3.50)
следовательно,
поэтому условие оптимальности (1.4.4) запишется в виде
Вспоминая, что (см. (1.3.47))
получаем в общем случае
Заменив в условии оптимальности
Этому условию удовлетворяет оптимальное решение
Поэтому из (1.4.18) при
Гак как
Это равенство имеет место для любых четных функций потерь:
Таким образом, оптимальное решение с удовлетворяет условию оптимальности (1.4.18) при любых четных функциях потерь. Иначе говоря, оптимальное решение с инвариантно относительно четных функций потерь. Именно это обстоятельство часто используется для обоснования выбора квадратичной функции потерь как наиболее простой и допускающей часто нахождение оптимального решения или его оценок в аналитической форме. Вектор
или, учитывая (1.4.17),
Здесь Используя уравнение оптимальной настраиваемой модели (1.3.44), которое мы перепишем в виде
и определение вектора наблюдений
Подставляя (1.4.25) в (1.4.23), получим разностное уравнение относительно векторов коэффициентов чувствительности
Это уравнение определяет модель чувствительности. Сопоставляя уравнение оптимальной настраиваемой модели (1.4.24) и уравнение модели чувствительности (1.4.26), заключаем, что уравнения модели чувствительности получаются из уравнения оптимальной настраиваемой модели по простому правилу: выходные величины настраиваемой модели
— на вектор наблюдений
Рис. 1.13 При
и динамическая модель чувствительности вырождается. Вектор коэффициентов чувствительности
Для
где чувствительности
|
1 |
Оглавление
|