§ 4.7. Оптимальные на классе функции потерь для РАР-объектов и Р-объектов с преобразованной помехой

Для РАР-объектов и -объектов с преобразованной помехой наименее благоприятная плотность распределения определяется решением

(см. скан)

Таблица 4.2 (см. скан) Наименее благоприятные на классах плотности распределения помех (или приближенное решение и производные оптимальных функций потерь (или, соответственно, для АР-объектов

общей вариационной задачи минимизации (4.4.2)

т. е.

Здесь 1] и постоянные (4.4.3), различные для РАР-объекта (4.4.8) и -объектов с преобразованной помехой (4.4.7). Аналитическое решение этой вариационной задачи минимизации существует лишь для

класса и это решение представляет собой нормальную плотность распределения. Действительно, достигают одновременно минимума при

Следовательно, является наименее благоприятной плотностью распределения при любых неотрицательных и

Для более узких классов можно искать наименее благоприятную плотность распределения таким путем. Решаем задачу минимизации (4.7.1) при (см. § 4.4), проверяем для найденного решения удовлетворяет ли оно условию Если да, то является искомым решением, т. е. наименее благоприятной плотностью распределения, и определяет оптимальную на классе функцию потерь для РАР-объектов и -объектов с преобразованной помехой. Если нет, то решение можно искать при помощи минимизации фишеровской информации на классе Воспользуемся иной, более простой возможностью, которая, однако, приводит к приближенному решению. Эта возможность связана с использованием неравенства Коши — Буняковского, которое широко применялось в § 4.4, 4.5 при определении наименее благоприятных распределений для -объектов с простой помехой. Но здесь это неравенство используется несколько иначе.

Запишем минимизируемый функционал (4.7.1) в виде

Полагая в неравенстве Коши — Буняковского (4.4.18)

получим

Оценим правую часть этого неравенства, предполагая, что удовлетворяет условию После интегрирования по частям, определяя максимум и минимум правой части неравенства будем иметь

Но равенство в (4.7.6) достигается при

откуда находим

где С определяется из условия нормировки

из условия Соответствующая приближенно оптимальная на классе функция потерь будет иметь вид

Относительная погрешность найденной таким образом плотности распределения удовлетворяет неравенствам

откуда

т. е. при «больших» и «малых» плотность близка к истинной наименее благоприятной плотности распределения в слабом смысле, или по функционалу (4.7.4). Это позволяет считать найденную плотность (4.7.10) приближенным решением задачи (4.7.1) для класса плотностей распределения V, определяемого условием

Полученное решение (4.7.10) может быть использовано в качестве приближенного в задаче (4.7.1) с различными классами распределений V? Для оценки точности такого приближения следует определять границы правой части неравенства (4.7.6) для рассматриваемого класса.

Заметим, что при или из (4.7.11) следует т. е. решение уравнения (4.7.8) является точным решением задачи (4.7.1) соответственно для -объекта с простой помехой и АР-объекта.

Таблица 4.2 (см. скан) Наименее благоприятные на классах плотности распределения помех (или приближенное решение и производные оптимальных функций потерь (или, соответственно, для РАР-объектов и -объектов с преобразованной помехой

Результаты приближенного, а в тех случаях, когда это возможно, точного аналитического решения для приведены в табл. 4.4. Обозначения приняты для приближенных выражений, когда аналитическое решение отсутствует.