§ 3.6. Заключение

Поскольку оптимальное решение с минимизирующее средние потери, как правило, не может быть найдено в явной форме, то приходится довольствоваться оценками этого оптимального решения, которые формируются рекоррентными алгоритмами. При заданной функции потерь и надлежащем выборе матрицы усиления или эти алгоритмы становятся оптимальными в том смысле, что асимптотическая скорость сходимости, характеризуемая достигает максимума. Но само максимальное значение асимптотической скорости сходимости зависит от выбора функции потерь. Для оптимальной функции потерь пол" ностью определяемой плотностью распределения помех (предполагаемой симметричной и достаточно гладкой), скорость сходимости оптимальных алгоритмов достигает максимум-максиморума. Поэтому оптимальные алгоритмы при оптимальных функциях потерь названы абсолютно оптимальными.

Скорость сходимости абсолютно оптимальных алгоритмов достигает предельно возможной скорости, определяемой нижней границей неравенства Крамера — Рао. Приведены различные типы абсолютно оптимальных алгоритмов. Для того случая, когда плотность распределения помех известна не полностью, а с точностью до параметра масштаба, сформированы алгоритмы с настройкой параметра масштаба.

При квадратичной функции потерь оптимальные алгоритмы линейны и соответствуют рекуррентным алгоритмам метода наименьших квадратов Алгоритмы МНК не зависят от дисперсии помех. Дисперсия помех определяет их скорость сходимости, которая инвариантна относительно любых помех, обладающих

симметричными и достаточно гладкими плотностями распределения с конечной и заданной дисперсией

При нормальной плотности распределения алгоритмы МНК являются линейными абсолютно оптимальными алгоритмами. Для работк этих алгоритмов нет необходимости знать параметр масштаба нормальной плотности распределения.

При модульной функции потерь оптимальные алгоритмы релейные и соответствуют рекуррентным алгоритмам метода наименьших модулей (МНМ). В отличие от алгоритмов МНК, которые становятся неработоспособными при помехах с неограниченной дисперсией, алгоритмы МНМ не теряют сходимости и в этом случае. Скорость сходимости рекуррентных алгоритмов МНМ определяется максимальным значением плотности распределения помех Предельно возможная скорость сходимости достигается у абсолютно оптимальных релейных алгоритмов, которые зависят от параметра масштаба (дисперсии) лапласовой плотности распределения (когда релейные алгоритмы оказываются абсолютно оптимальными). Для формирования абсолютно оптимальных релейных агоритмов необходимо знать параметр масштаба (дисперсию) плотности распределения Лапласа, либо оценивать его дополнительным алгоритмом.

Приведенные примеры одномерных и многомерных абсолютно оптимальных и оптимальных алгоритмов иллюстрируют установленные свойства и особенности этих алгоритмов.