§ 5.2. Реализуемые абсолютно оптимальные на классе алгоритмы

Абсолютно оптимальный на классе алгоритм (5.1.5), (5.1.6) не реализуем, поскольку матрица усиления зависит, вообще говоря, как от неизвестного оптимального решения с так и от неизвестной плотности распределения помехи Для получения реализуемых абсолютно оптимальных на классе алгоритмов воспользуемся приемами, близкими к тем, которые применялись при получении реализуемых оптимальных алгоритмов в § 3.2. Прежде всего заменим в матрице усиления квазифишеровскую информацию 1-го рода на фишеровскую информацию при наименее благоприятной плотности распределения Тогда получим

и вместо абсолютно оптимального на классе алгоритма (5.1.5), (5.1.6) будем иметь

где, как видно из (5.2.1),

Найдем АМКО для этого алгоритма. Для этой цели воспользуемся уравнением АМКО (1.6.32)

При оптимальной на классе функции потерь как видно из (1.6.31) и (4.2.2), (4.2.5), (5.1.4), имеем

Учитывая (5.2.4), получим

Обозначая через для рассматриваемого алгоритма, запишем уравнение в виде

Отсюда находим АМКО для алгоритма (5.2.2) — (5.2.4)

Обратная АМКО равна

Покажем, что обратная АМКО удовлетворяет неравенствам

Левая часть этого неравенства,

означает, что переход от нереализуемого абсолютно оптимального на классе алгоритма (5.1.5), (5.1.6) к алгоритму (5.2.2) — (5.2.4) не увеличивает обратную АМКО, т. е. не уменьшает АМКО. Правая часть неравенства (5.2.11)

свидетельствует о том, что и для алгоритма (5.2.2) — (5.2.4) остается справедливым принцип оптимальности на классе (4.3.7), т. е. алгоритм (5.2.2) — (5.2.4) также является абсолютно оптимальным на классе алгоритмом.

Для доказательства неравенства (5.2.12) достаточно заметить, что поскольку всегда

то

Пользуясь этим неравенством, из (5.2.10) получаем (5.2.12)

Для доказательства неравенства (5.2.13) воспользуемся теми же соображениями, которые применялись при установлении принципа оптимальности на классе. Покажем, что достигает минимума по при что и означает выполнение неравенства (5.2.13).

Обозначим

где определяется выражением (4.2.21), в котором Вычисляя аналогично тому, как это делалось в 5 4.2, получим после элементарных преобразований

Сопоставляя выражение для заключаем, что

А это неравенство и есть условие минимума по т. е. неравенство (5.2.13) доказано.

Для того чтобы можно было реализовать матрицу усиления (5.2.4), необходимо освободиться в (5.2.4) от истинной плотности распределения помех и оптимального решения с. С подобной задачей мы уже встречались при формировании реализуемых абсолютно оптимальных алгоритмовв § 3.2. Поступим таким же образом. Заменим в матрице усиления (5.2.4) нормированную информационную матрицу ее эмпирической оценкой Полученная таким образом оценка матрицы усиления запишется в виде

Вспоминая, что

представим в виде

Отсюда на основании леммы об обращении матриц (1.7.17), (1.7.18) при получим

где

Поэтому реализуемый абсолютно оптимальный на классе алгоритм представится в виде

где оценка матрицы усиления определяется рекуррентным соотношением (5.2.21а), а коэффициенты чувствительности — (5.2.216). Блок-схема этого реализуемого абсолютно оптимального на классе алгоритма изображена на рис. 5.1. Она отличается от блок-схемы абсолютно оптимального алгоритма (рис. 3.1) иными выражениями производной функции потерь в (5.2.22) и фишеровской информации в (5.2.21а).

Рис. 5.1

Таким образом, для получения реализуемых абсолютно оптимальных на классе алгоритмов достаточно в оптимальных алгоритмах заменить производную оптимальной функции потерь на производную оптимальной на классе функции потерь а в матрице усиления заменить фишеровскую информацию на

Для объектов с простой помехой Следовательно, из (5.2.21), (5.2.22) получаем

Блок-схема этого абсолютно оптимального на классе алгоритма изображена на рис. 5.2.

Реализуемые абсолютно оптимальные на классе алгоритмы идентификации объектов с простой помехой можно представить и в

Рис. 5.2

несколько иной форме, аналогично (3.2.12), (3.2.13):

Матрица а значит, и определяется по-прежнему из рекуррентного соотношения (5.2.24). Блок-схема реализуемого абсолютно оптимального на классе алгоритма этого вида изображена на рис. 5.3.

Рис. 5.3