§ 7.2. Представление априорной информации об оптимальном решении

Рассмотрим возможность вероятностного представления априорной информации об оптимальном решении с. Как правило, такая априорная информация может быть представлена в виде тех или иных областей в пространстве решений, внутри которых — точно или приближенно — должно находиться оптимальное решение с. Попытаемся связать ограничения подобного рода с некими плотностями распределения

Наряду с детерминированным оптимальным решением с рассмотрим рандомизированное оптимальное решение

где случайный вектор, который мы назовем вектором рандомизации. Пусть плотность распределения вектора Заметим, что эта плотность, в отличие от плотности распределения помех не является плотностью частотного распределения, а характеризует лишь степень нашего знания области принадлежности оптимального решения с. Чтобы подчеркнуть эту особенность плотности распределения ее называют фидуциальной, т. е. основанной на вере, убеждении (об этом будет напоминать индекс Таким образом, в отличие от физической рандомизации, широко применяемой, скажем, для вибрационной линеаризации релейных систем, для осуществления случайного поиска оптимального решения и т. п., — рандомизация оптимального решения (7.2.1) является мысленной, будучи лишь способом выражения наших сведений об оптимальном решении с.

Итак, рандомизированное решение характеризуется плотностью распределения

Оптимальное решение представляет собой вектор размерности Эту же размерность имеют рандомизированное оптимальное решение и вектор рандомизации Будем предполагать, что компоненты вектора рандомизации независимы. Это означает, что

и, следовательно

где одномерные фидуциальные плотности распределения.

Допустим теперь, что мы знаем — точно или приближенно, с той или иной степенью точности, — что оптимальное решение с принадлежит области, представляющей собой -мерный параллелепипед Тогда ребра этого параллелепипеда определяют дисперсии фидуциальных плотностей распределений. В случае, когда наша информация о принадлежности оптимального решения с параллелепипеду является приближенной, можно принять фидуциальную плотность распределения нормальной (рис. 7.1):

с фидуциальной дисперсией

Рис. 7.1

Эта фидуциальная плотность распределения является также наименее благоприятной для класса распределений с ограниченными дисперсиями

Если же нам точно известно, что оптимальное решение с принадлежит параллелепипеду то можно воспользоваться наименее благоприятным для класса финитных распределений распределением с плотностью

(рис. 7.2) и дисперсией, равной

Фишеровские информации для этих фидуциальных плотностей распределения (см. табл. 2.1) соответственно равны

и

Выбранные выше фидуциальные плотности распределения (7.2.5), (7.2.7) являются наиболее естественным выражением априорной информации об оптимальных решениях. Как будет ясно из дальнейшего, замена их иными плотностями распределения, обладающими конечными фшперовскими информациями, — например, лапласовой, логистической, Коши или финитной, — не вносит каких-либо существенных изменений в получаемые результаты. Поэтому далее априорная информация о решении будет всегда характеризоваться фидуциальным распределением, наименее благоприятным либо для класса распределений с ограниченной дисперсией т. е. с нормальной плотностью распределения (7.2.5), либо для класса финитных распределений т. е. с квадратично-косинусоидальной плотностью распределения (7.2.7).

Рис. 7.2