§ 6.4. Оптимальные и оптимальные на классе функции потерь

Среди всех плотностей распределения только нормальная плотность распределения обладает тем свойством, что если некоррелированы, то они будут и независимы. Для всех иных плотностей распределения будут зависимы. Поэтому, строго говоря, для неминимально-фазовых по возмущению объектов только для нормальной плотности распределения соответствующей квадратичной функции потерь, могут быть строго обоснованы оптимальные и оптимальные на классе функции потерь. Во всех остальных случаях строгое обоснование оптимальных и оптимальных на классе функций потерь, отличных от квадратичных, пока отсутствует. Но несмотря на это, мы по аналогии будем ими пользоваться.

Оптимальную функцию потерь для неминимально-фазовых по возмущению объектов будем определять так же, как и для минимально-фазовых объектов, используя вместо плотности распределения Оптимальную функцию потерь, определяющую оптимальные средние потери и фигурирующую в абсолютно оптимальных алгоритмах идентификации, запишем в виде

Для устойчивых плотностей распределения плотности находятся в явной форме (для нормальной плотности распределения и плотности распределения Коши). В остальных случаях приходится прибегать к предварительному вычислению интеграла (6.3.16), что в общем случае можно сделать лишь численными методами. Однако вряд ли стоит этим заниматься. Ведь на этом пути оптимальная функция потерь может быть получена лишь приближенно, и, следовательно, в ряде случаев

мы можем столкнуться с сильной чувствительностью оптимального решения и его оценки, вызванной отклонением приближенной функции потерь от точной.

При неполной априорной информации относительно помех будем использовать оптимальную на классе функцию потерь

где наименее благоприятная плотность распределения для данного класса, соответствующего заданному уровню априорной информации о помехах. Используя свойства преобразования плотностей распределения фильтром нетрудно для ряда классов V найти наименее благоприятную плотность распределения а значит, и оптимальную на классе функцию потерь

Так, для Р-объектов наименее благоприятная плотность распределения определяется из условия минимума фишеровской информации Вспоминая, что плотности распределения хотя и различны, но при конечной дисперсии отличаются параметрами масштаба запишем условия, определяющие классы распределений.

Класс невырожденных распределений:

Класс распределений с ограниченной дисперсией:

Класс приближенно нормальных распределений:

где произвольная плотность распределения, а коэффициент подлежит определению.

Класс финитных распределений:

Из определения этих классов следует, что мы можем воспользоваться ранее найденными наименее благоприятными плотностями распределения для минимально-фазовых -объектов (см. § 3.5), изменив в них параметры масштаба или на или на и параметр а на

Заметим, что вряд ли нужно стремиться для класса точно определять значение влияние неточного значения на эффективность оценивания, как было отмечено ранее (см. § 5.4), невелико.

Для РАР-объектов и класса распределений с ограниченной дисперсией а также для АР-объектов и класса распределений с ограниченной снизу дисперсией если последняя достаточно мала, наименее благоприятная плотность распределения — нормальная, и, значит, оптимальная на классе функция потерь — квадратичная. В остальных случаях оптимальные на классе функции потерь могут быть найдены лишь численными методами.