§ 1.3. Настраиваемая модель

Настраиваемая модель, фигурирующая в функциональной схеме идентификации, должна вырабатывать прогнозирующую величину на основе наблюдаемых входных воздействий и выходных величин объекта. Поэтому настраиваемую модель можно также называть прогнозирующей, предсказывающей моделью. Чем ближе параметры настраиваемой модели к параметрам объекта, тем точнее прогноз, т. е. тем ближе к выходной величине объекта

Существует множество различных настраиваемых моделей. Как уже упоминалось, выбор настраиваемой модели обычно не аргументировался и был довольно произвольным. Тем не менее интуитивно ощущалось, что модель должна формироваться на основе той априорной информации, которая нам известна об объекте. К этой априорной информации относятся: порядок уравнений объекта, точка приложения помехи, длительность временной характеристики объекта и т. д. Возникает задача синтеза в определенном смысле наилучшей настраиваемой модели на основе имеющейся априорной информации об объекте.

Напомним, что в общем случае уравнение объекта имеет вид т. е.

Удем искать уравнение настраиваемой модели в такой форме:

где и — пока неизвестные передаточные функции настраиваемой модели, представляющие собой дробно-рациональные функции переменной Эти передаточные функции определяют способ обработки наблюдаемых входных, и выходных, величин объекта.

Выбор уравнения настраиваемой модели в форме (1.3.2) объясняется тем, что выходная величина настраиваемой модели не должна зависеть от выходной величины объекта в тот же момент времени т. е. от Условием этого, как видно из (1.3.2), является равенство

Класс настраиваемых моделей, определяемых уравнением (1.3.2) при условии (1.3.3), обозначим через

Назовем невязкой разность между выходными величинами объекта и настраиваемой модели

Близость настраиваемой модели к объекту будем характеризовать математическим ожиданием квадрата невязки

Если

то мерой близости настраиваемой модели и объекта будет дисперсия невязки.

Под оптимальной настраиваемой моделью будем подразумевать такую, для которой достигает минимально возможного значения при определенных значениях ее параметров. Поскольку модель полностью определяется передаточными функциями (см. (1.3.2)), то является функционалом, зависящим от этих передаточных функций, — Таким образом, задача определения оптимальной настраиваемой модели сводится к задаче минимизации функционала невязки

Найдем явное выражение этого функционала. Из уравнения настраиваемой модели (1.3.2) и определения невязки (1.3.4) следует

Подставляя в из уравнения (1.3.1), получим

где

Функционал может быть выражен через передаточные функции и спектральные плотности воздействия и возмущения Как известно из теории дискретных систем, для независимых между собой воздействий и возмущений функционал можно представить в виде

Здесь контур интегрирования на комплексной плоскости, — окружность единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 1.10), мнимая единица.

Как следует из (1.2.41), спектральная плотность возмущения (помехи) есть

Что же касается спектральной плотности воздействия то она зависит от статистических свойств воздействия и различна для различных воздействий.

Рис. 1.10

Потребуем, чтобы структура настраиваемой модели не зависела от характеристик внешних воздействий. Это будет иметь место, если функционал (1.3.10) не зависит от спектральной плотности воздействия т. е. если

Это условие налагает связь на передаточные функции настраиваемой Модели При выполнении условия (1.3.12) функционал упрощается и принимает вид

или, после подстановки из (1.3.9),

Функционал не зависит от передаточной функции Задача минимизации (1.3.6), таким образом, упрощается и сводится к задаче минимизации вида

Передаточная же функция определяется по передаточной функции из условия (1.3.12)

Условие минимума функционала получается приравниванием нулю его вариации по т. е.

Но второй интеграл заменой переменной на сводится к первому. Поэтому условие минимума (1.3.17) упрощается и может быть записано в виде

Контурный интеграл в левой части равенства (1.3.18) обратится в нуль, если подынтегральное выражение не будет иметь полюсов в области т. е. вне единичного круга (рис. 1.10). Для обеспечения этого условия достаточно положить

где — неопределенная пока постоянная. Отсюда находим, учитывая (1.2.5),

Значение постоянной определяется из условия

Следовательно, оптимальная передаточная функция (1.3.20) окончательно принимает вид

Подставляя это выражение в (1.3.16), находим

Нетрудно проверить (мы этого делать не будем), что найденные оптимальные передаточные функции удовлетворяют и достаточным условиям минимума функционала Заменяя в (1.3.23) и (1.3.22) полиномы (1.2.7) на полиномы

отличающиеся лишь коэффициентами от найдем передаточные функции оптимальной настраиваемой модели

Следовательно, уравнение оптимальной настраиваемой модели (1.3.2) представится в виде

или

Наконец, воспользовавшись свойством (1.2.2) оператора запаздывании получим окончательно

Таким образом, для устойчшого и минимально-фазового объекта оптимальная настраиваемая модель описывается уравнениями (1.3.29) — (1.3.31). Настраиваемая модель в общем случае — динамическая с двумя входными воздействиями и

Найдем минимальное значение функционала достигаемое при равенстве параметров настраиваемой модели (как основных, так и вспомогательных) параметрам идентифицируемого объекта, т. е. при

Согласно (1.3.23), (1.3.22) в этом случае

Подставляя выражения этих передаточных функций а также и в (1.3.9), получим

При этих значениях и (1.3.34) и спектральной плотности помехи функционал достигает минимума, равного

Из (1.3.8) при выполнении (1.3.12) получаем

поэтому функционал представляет собой дисперсию невязки. Отсюда следует, что минимально возможная дисперсия невязки равна произведению дисперсии помехи на Это предельно возможная дисперсия невязки, которая принципиально может быть достигнута.

Рассмотрим частные случаи оптимальной настраиваемой модели. Предположим, что помеха приложена к объекту в специальной точке (рис. 1.6). Тогда (см. (1.2.17), (1.2.18)), полагая

т. е. получаем из

или

Это уравнение отвечает статической настраиваемой модели. Структурная схема такой модели изображена на рис. 1.11. Она содержит элементов запаздывания и усилителей, коэффициенты усиления которых равны значениям настраиваемых параметров Входными величинами оптимальной статической настраиваемой модели являются выходная и входная величины идентифицируемого объекта.

Рис. 1.11

Предположим теперь, что помеха приложена ко входу объекта (рис. 1,4). Тогда (см. (1.2.13), (1.2.14)), полагая

получим из (1.3.29), (1.3.31)

или

Это уравнение соответствует динамической настраиваемой модели. Ее структурная схема изображена на рис. 1.12. Она содержит элементов запаздывания и усилителей, коэффициенты усиления которых равны значениям настраиваемых параметров от, Входной величиной оптимальной динамической настраиваемой модели является входная величина идентифицируемого объекта.

Рис. 1.12

Статическая настраиваемая модель (рис. 1.11) очень широко используется в практике идентификации. Динамическая настраиваемая модель (рис. 1.12) также применяется, но в значительно меньшей степени. Однако, как правило, это не связано с введенной выше оптимальной настраиваемой моделью. Применение же той или иной произвольно выбранной настраиваемой модели обычно не обеспечивает выполнения условия (1.3.6). Поэтому такие модели не являются наилучшими с принятой точки зрения. Кроме того, они могут приводить к смещенным оценкам.

Оптимальная настраиваемая из класса модель, как показано

выше, обладает тем свойством, что при с — с для нее средние квадратичные потери достигают своего минимума. Это значит, что

В тех случаях, когда в уравнении объекта уравнения оптимальной модели (1.3.29) (1.3.31) (при принимают вид

или

Введем вектор наблюдений

и вектор параметров

размерности Эти векторы представляют собой матрицы-столбцы. Транспонирование вектора параметров с приводит к матрице-строке, для которой мы примем обозначение

Пользуясь этими обозначениями, представим уравнение оптимальной настраиваемой модели (1.3.44) в такой форме:

Обозначим вектор всех наблюдений до момента времени

Он включает вектор наблюдений и выходную величину

Тогда невязка

представится в виде

Введем обозначение оптимального решения

Заметим, что размерность векторов с и с которую мы обозначили не всегда равна Часто ряд компонент вектора с известен априори и нет необходимости их оценивать. Тогда соответствующие компоненты исключаются из выражений с и с (1.3.45), (1.3.46), (1.3.51), при этом При получаем

и значит

Это минимальное значение функционала при равно, таким образом,

и, значит, в этом случае

Далее часто будут рассматриваться объекты, для которых и это нам известно.

Отметим важное свойство вектора наблюдений В число его компонент входят — Принимая во внимание свойства помех и входных воздействий (см. § 1.2), получим

и

Эти равенства показывают, что помеха и наблюдения не коррелированы.

Введенное понятие оптимальной настраиваемой модели позволяет по априорной информации об объекте (структура и порядок разностного уравнения объекта) однозначно выбрать настраиваемую модель.

Оптимальная настраиваемая модель при доставляет предельно возможный минимум функционала невязки.

Далее мы будем рассматривать задачу идентификации объектов, минимально-фазовых по возмущению, не оговаривая этого каждый раз. Именно таким объектам и посвящена вся огромная литература по идентификации.

Идентификация неминимально-фазовых по возмущению объектов до самого последнего времени считалась невозможной. В действительности же этот широко распространенный вывод оказался неверным. Изложению специфики идентификации неминимально-фазовых по возмущению объектов посвящена глава 6.