§ 4.5. Оптимальные на классе функции потерь для P-объектов с простой помехой

Для -объектов с простой помехой наименее благоприятная плотность распределения определяется решением вариационной задачи минимизации (4.4.9)

т. е.

Определим пользуясь методикой, основанной на неравенстве Коши — Буняковского. Рассмотрим классы распределений

Класс невырожденных распределений определяется ограничением (4.1.3)

Выберем

Для этой функции из (4.4.30) находим

Подставляя в (4.4.26), получим для любой плотности распределения

Но при плотность распределения (4.5.5) принадлежит классу , а фишеровская информация становится минимальной и равной Таким образом, наименее благоприятной плотностью

распределения для класса является двойная экспоненциальная плотность распределения, или плотность распределения Лапласа

Отсюда находим оптимальную на классе функцию потерь

Оптимальная на классе функция потерь — модульная.

Класс распределений с ограниченной дисперсией определяется ограничением (4.1.4)

Выберем

Тогда из (4.4.30) следует

Подставляя в (4.4.26), получим для любой плотности распределения

При плотность распределения (4.5.11) принадлежит классу и имеет минимальную фишеровскую информацию, равную Таким образом, наименее благоприятной плотностью распределения для класса является нормальная, или гауссова плотность распределения

Отсюда находим оптимальную на классе функцию потерь

Оптимальная на классе функция потерь — квадратичная.

Класс приближенно нормальных распределений Ограничение, определяющее класс можно записать в виде неравенства

где нормальная, или гауссова плотность распределения. Выберем

Тогда из (4.4.30) следует

где

а

Подставляя в (4.4.26), получим для любой плотности распределения

или, после преобразования правой части этого неравенства,

Равенство здесь может достигаться только для такой плотности распределения при некотором которая имеет вид (4.5.17), (4.5.18) и, кроме того, удовлетворяет при всех равенству

Отсюда получаем

После подстановки этих значений в (4.5.18) будем иметь

Таким образом, наименее благоприятной плотностью распределения для класса является плотность распределения

где определяется из трансцендентного уравнения (4.5.23).

Из (4.5.24) находим оптимальную на классе функцию потерь

Оптимальная на классе функция потерь — квадратично-линейная.

Класс приближенно экспоненциальных распределений Ограничение, определяющее этот класс (4.1.6), можно записать в виде неравенства

где двойная экспоненциальная, или лапласова плотность распределения. Очевидно, что для всех выполняется

неравенство

т. е. класс является частью класса при . Согласно (4.5.7) наименее благоприятная плотность распределения для класса в этом случае равна

Она принадлежит классу Таким образом, наименее благоприятной плотностью распределения для класса является лапласова плотность распределения (4.5.28).

Из (4.5.28) находим оптимальную на классе функцию потерь

Для класса оптимальная на классе функция потерь — модульная.

Класс приближенно равномерных распределений Ограничение, определяющее класс V, (4.1.7), можно записать в виде неравенства

где равномерная плотность распределения:

Выберем

Поступая далее аналогично тому, как это делалось для класса получим, что наименее благоприятной плотностью распределения для класса является равномерно-экспоненциальная плотность

Отсюда находим оптимальную на классе функцию потерь

Оптимальная на классе функция потерь — постоянно-линейная.

Класс финитных распределений определяется ограничением

Выберем

Для финитных плотностей распределения с конечной фишеровской информацией должны выполняться граничные условия

Поэтому неравенство (4.4.26) запишется в виде

или, после несложных преобразований,

причем фигурирующий здесь минимум достигается при

Равенство в (4.5.37) достигается на плотностях распределения удовлетворяющих при некотором А уравнению (4.4.24) для интервала

и граничным условиям (4.5.36), т. е.

где Отсюда и из (4.5.38), (4.5.39) заключаем, что равенство может выполняться лишь для плотностей вида удовлетворяющих условию

которое, как нетрудно проверить, выполняется лишь при

Таким образом, наименее благоприятной плотностью распределения для класса является

Отсюда находим оптимальную на классе функцию потерь

Оптимальная на классе функция потерь нелинейна. Она отлична от нуля лишь в интервале финитности.

Класс приближенно финитных распределении Ограничение, определяющее класс имеет вид

Определение наименее благоприятной плотности распределения для рассматриваемого класса сопряжено с громоздкими выкладками, поэтому приведем здесь лишь схему рассуждении и конечный результат.

Выберем

Тогда, следуя изложенной выше методике, получим наименее благоприятную плотность распределения в виде

где константы определяются из системы уравнений

Оптимальная на классе функция потерь имеет вид

т. е. является нелинейно-линейной.

Таким образом, мы определили оптимальные на классах функции потерь для -объектов с простой помехой, когда априорная информация о помехах задается наиболее общими классами плотностей распределения

Любопытно отметить, что для рассмотренных классов удалось найти точное аналитическое выражение оптимальных на классе функций потерь. Наименее благоприятные плотности распределения для различных классов распределений и соответствующие им оптимальные на классах функции потерь а также их производные для -объектов с простой помехой приведены в табл. 4.1. Нетрудно усмотреть характерную особенность оптимальных на классе функций потерь При наличии в помехе больших выбросов, которые ухудшают оценивание -объектов, производные оптимальных на классе функций потерь благодаря насыщению, уменьшают влияние этих выбросов.