§ 3.2. Основные виды абсолютно оптимальных алгоритмов

Абсолютно оптимальный алгоритм (3.1.15), (3.1.16) оказывается физически нереализуемым, когда нормированная информационная матрица явно зависит от оптимального решения. Для перехода к реализуемому абсолютно оптимальному алгоритму можно воспользоваться теми же соображениями, которые использовались при получении реализуемых оптимальных алгоритмов (см. § 1.7). Однако замены (3.1.14), приводящие к реализуемому абсолютно оптимальному алгоритму, значительно удобнее применять непосредственно к реализуемым оптимальным алгоритмам. Так, из алгоритма (1.7.14), (1.7.13) после замены производной функции потерь на получаем реализуемый абсолютно оптимальный алгоритм вида

где

Он отличается от нереализуемого абсолютно оптимального алгоритма, (3.1.15), (3.1.16) лишь тем, что в матрице усиления

оптимальное решение с заменено его оценкой порождаемой самим алгоритмом.

Блок-схема абсолютно оптимальных алгоритмов (3.2.1), (3.2.2) отличается от блок-схемы оптимальных алгоритмов (1.7.14), (1.7.13), изображенной на рис. 1.16, лишь тем, что теперь в ней вместо и будут фигурировать Поэтому эту блок-схему мы не будем здесь воспроизводить.

Обратимся к реализуемым оптимальным алгоритмам (1.7.24) — (1.7.26). Заменяя в них на и на получим реализуемые абсолютно оптимальные алгоритмы

Блок-схема этих реализуемых абсолютно оптимальных алгоритмов изображена на рис. 3.1.

Рис. 3.1

Она получается из блок-схемы оптимальных алгоритмов (1.7.24) — (1.7.26) (рис. 1.17) заменой в ней на соответственно, на

Абсолютно оптимальные алгоритмы (3.2.3), (3.2.4) удобно представить в ином виде, а именно,

где

представляет собой вектор усиления. Если умножить обе части матричного рекуррентного соотношения (3.2.46) справа на то нетрудно получить связь между :

где определяются по-прежнему из рекуррентных соотношений (3.2.4).

Блок-схема оптимальных алгоритмов (3.2.5), (3.2.6), (3.2.4) изображена на рис. 3.2.

Рис. 3.2

Для объектов с простой помехой при согласно и абсолютно оптимальные алгоритмы упрощаются. Из (3.2.1) и (3.2.2) получаем

и

Нормированная информационная матрица не зависит в данном случае от вектора параметров с, поэтому вычисление матрицы усиления производится независимо от основного алгоритма (3.2.8). Аналогично, существенно упрощаются абсолютно оптимальные алгоритмы (3.2.3), (3.2.4). Они принимают вид

и

Блок-схема этих абсолютно оптимальных алгоритмов изображена на рис. 3.3.

Рис. 3.3

Заметим еще раз, что в этой блок-схеме матрица усиления не зависит явно от оптимального решения с которое в было заменено на Эта особенность алгоритма (3.2.8), (3.2.9) объясняется тем, что в нем выражается через наблюдения, которые не зависят явно от оценок оптимального решения с. Наконец, абсолютно оптимальные алгоритмы (3.2.5), (3.2.6) в этом случае запишутся в виде

Рис. 3.4

где

определяется из матричного рекуррентного соотношения (3.2.11).

Блок-схема абсолютно оптимальных алгоритмов (3.2.12), (3.2.13), (3 2.11) приведена на рис. 3.4.

Рис. 3.5

Блок-схема формирования матрицы усиления и вектора усиления (3.2.13), которые фигурируют в блок-схеме алгоритмов (рис. 3.4), приведена на рис. 3.5. Если вход

в ней заменить на то мы получим матрицу усиления и вектор усиления, фигурирующие в блок-схемах более общих алгоритмов (рис. 3.1, 3.2).

Заметим, что начальные значения алгоритмов не влияют на их асимптотические свойства, которыми мы сейчас только и интересуемся. Поэтому мы не будем обсуждать вопросы выбора этих начальных значений. К этому вопросу вернемся в главе 7.

Абсолютно оптимальные алгоритмы учитывают полную априорную информацию о помехах (плотность распределения дисперсию и благодаря этому обладают предельно возможной скоростью сходимости, которая не может быть превзойдена никакими иными алгоритмами. Однако такие алгоритмы (3.2.1), (3 2.2) не всегда существуют. Так, для равномерной плотности распределения помех

фишеровская информация равна бесконечности (см. табл. 2.1) и, значит, в силу При идентификации АР-объектов с помехой, имеющей плотность распределения Коши: дисперсия помехи бесконечна: ; следовательно, нормированная информационная матрица обращается в бесконечность и, как видно из (3,2,2), опять

Для таких нерегулярных случаев существуют иные алгоритмы, имеющие более высокую скорость сходимости, чем та, что определяется нижней границей неравенства Крамера — Рао. Далее мы этих нерегулярных случаев касаться не будем. Они требуют особого рассмотрения.