§ 7.3. Обобщенные эмпирические средние потери

До сих пор мы рассматривали эмпирические средние потери вида (2.1.1)

При оптимальной функции потерь

оптимальные эмпирические средние потери

учитывают априорную информацию относительно помех, задаваемую плотностью распределения помех

Обобщим теперь определение эмпирических средних потерь так, чтобы они учитывали и априорную информацию относительно оптимального решения с задаваемую фидуциальной плотностью распределения Определим дополнительную функцию потерь по аналогии с основной оптимальной функцией потерь (7.3.2), а именно,

Если невязка в основной оптимальной функции потерь является функцией наблюдений то разность с в дополнительной функции потерь зависит не от наблюдаемых величин, а от априорных сведений относительно оптимального решения с. Эти априорные сведения могут определяться, например, как

Для учета априорной информации об оптимальном решении введем понятие обобщенных эмпирических средних потерь. Определим обобщенные эмпирические средние потери для оптимальной функции потерь следующим образом:

Обобщенные эмпирические средние потери отличаются от средних потерь тем, что они при равны не как в (7.3.3), т. е. зависят не только от наблюдения но и от априорной информации об оптимальном решении с. Принимая во внимание (7.3.3), запишем обобщенные эмпирические средние потери (7.3.5) в виде

Градиент обобщенных эмпирических средних потерь будет равен

Оценка минимизирующая обобщенные эмпирические средние потери удовлетворяет условию оптимальности

С ростом числа наблюдений различие между а также их градиентами устраняется, и они стремятся к средним потерям и их градиентам соответственно. Значит, при влияние априорной информации на оценку с устраняется.