§ 1.2. Объекты и их классификация

Динамические объекты описываются дифференциальными, интегральными или функциональными уравнениями относительно некоторых координат, характеризующих их состояние. Широкое применения цифровых вычислительных машин для управления этими объектами приводит к необходимости описать эти объекты разностными или суммарными уравнениями, которые определяются на основании известных способов теории дискретных систем по дифференциальным или интегральным уравнениям. Поэтому далее мы будем иметь дело с разностными или суммарными уравнениями. Для наглядности мы ограничимся рассмотрением линейных динамических объектов. Обобщение на определенные классы нелинейных объектов, как будет видно из дальнейшего, не представит труда.

Рис. 1.2

В общем случае уравнение линейных динамических объектов при наличии входного воздействия и помехи (рис. 1.2) может быть представлено в виде линейного разностного уравнения

где дискретное время.

Введем оператор запаздывания определяемый как

тогда уравнение линейных динамических объектов можно записать в операторной форме

или

где

— передаточные функции динамического объекта по воздействию и возмущению соответственно.

В уравнении и передаточных функциях (1.2.5)

— характеристический полином, а

— полиномы по воздействию и по возмущению соответственно. Равенство степеней всех этих полиномов не является ограничением (если это не так, достаточно приравнять старшие коэффициенты нулю).

Блок-схема динамического объекта, описываемого уравнением (1.2.4) или, что эквивалентно, (1.2.3), (1.2.1), приведена на рис. 1.3.

Рис. 1.3

Идентификация динамических объектов непосредственно по наблюдаемым входным, и выходным, величинам может быть осуществлена лишь тогда, когда динамический объект устойчив, т.е. когда его реакция на ограниченные воздействия также ограниченна. Но, как известно из теории дискретных систем, для того чтобы линейный динамический объект был устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического полинома лежали вне единичного круга с центром в начале координат:

Полином, нули которого удовлетворяют условию (1.2.8), для краткости будем называть внешним полиномом.

Критерии, позволяющие судить об устойчивости динамических систем по коэффициентам характеристического полинома, широко известны. Они приводятся в руководствах по теории дискретных

(гтем, и мы не будем их здесь выписывать. Далее всегда будет предполагаться устойчивость идентифицируемых динамических объектов.

Назовем динамический объект минимально-фазовым, если полиномы и внешние, т. е. если все их нули лежат вне единичного круга с центром в начале координат. В противном случае, если не все нули полиномов и (или) лежат вне единичного круга с центром в начале координат, будем называть динамический объект неминимально-фазовым по воздействию и (или) по возмущению. Уравнения линейных динамических объектов (1.2.1), или (1.2.4), (1.2.5), являются наиболее общими. Они охватывают в качестве частных случаев различные объекты и процессы: регрессии, авторегрессии, скользящего среднего, временные ряды и т. п.

Рис. 1.4

Рис. 1.5

Рассмотрим, как меняются уравнения динамических объектов при изменении точки приложения возмущения — помехи Предположим, что помеха приложена ко входу объекта (рис 1.4). Тогда

В этом случае

и уравнения объекта (1-2.1), (1.2.4) принимают вид

и

Если помеха приложенак выходу объекта (рис. 1.5), то

В этом случае

и уравнения объекта (1.2.1), (1.2.4) принимают вид

и

Наконец, существует такая точка приложения помехи, для которой

В этом случае

и уравнения объекта (12,1), запишутся в виде

и

Реакция выходной величины вызываемая помехой в этом случае не зависит от параметров Блок-схема такого динамического объекта изображена на рис. 1.6. Разностное уравнение (1.2.19) особенно часто фигурирует в работах по идентификации.

Заметим, что параметры если они отличны от нуля, зависят, вообще говоря, от параметров Поэтому параметры мы назовем основными, а параметры выражающиеся через основные, — вспомогательными.

Рис. 1.6

Приведенные выше уравнения динамических систем являются наиболее общими. Рассмотрим некоторые частные случаи этих уравнений. Пусть

т. е. Это значит, что

Тогда уравнения и (1.2.1) соответственно принимают вид

и

Эти уравнения соответствуют динамическому объекту с конечной длительностью переходного процесса. Блок-схема такого динамического объекта изображена на рис. 1.7.

Уравнение, аналогичное (1.2.24), но в котором вместо фигурирует т. е.

соответствует статическому объекту с входами и одним выходом (рис. 1.8).

Рис. 1.7

Рис. 1.8

Объекты, соответствующие уравнениям (1,2.24), (1.2.25), будем называть регрессионными объектами, или кратко, -объектами. Таким образом, к -объектам относятся как динамические (1.2.24), так и статические объекты (1.2.25).

Предположим теперь, что

т. е. Следовательно,

и уравнения соответственно запишутся в виде

и

Уравнения (1.2.28), (1.2.29) соответствуют динамическому объекту при отсутствии входных воздействий. Такие объекты будем называть, как это принято в эконометрике, авторегрессионными объектами, или, кратко, АР-объектами. Они широко используются при исследовании различного рода временных рядов. Блок-схема АР-объекта изображена на рис. 1.9. Положим

т. е. В этом случае

и уравнения (1.2.4), (1.2.1) соответственно принимают вид

и

Эти - уравнения соответствуют операции скользящего среднего. Очевидно, что операция скользящего среднего будет фигурировать и в -объектах и в АР-объектах, если изменить точку приложения помехи.

Рис. 1.9

Объекты, описываемые общими уравнениями (1.2.1), (1.2.4), назовем регрессионно-авторегрессионными объектами, или, кратко, РАР-объектами. В отличие от -объектов, к АР-объектам и РАР-объектам относятся только динамические системы.

Если перейти от уравнения динамического объекта в операторной форме (1.2.16) к уравнению относительно то мы получим уравнение типа свёртки

где временная, или импульсная характеристика объекта, равная

Здесь нули характеристического полинома которые предполагаются различными. Выражение для случая кратных нулей (если в этом есть необходимость) может быть получено из (1.2.35) предельным переходом. Для устойчивого объекта

Поэтому всегда можно предположить, что при достаточно большом

и, значит, уравнение (1.2.34) можно приближенно записать так:

Сопоставляя уравнения (1.2.38) и (1.2.24), заключаем, что при

эти уравнения идентичны, но теперь для уравнения (1.2.38) неизвестными являются не параметры а дискреты временной характеристики Из сказанного следует, что в зависимости от формы описания объекта (1.2.15) или (1.2.34), а значит, и от того, какие величины подлежат определению при идентификации: или

динамический объект может быть отнесен к РАР-объектам либо к -объектам.

Рассмотренные выше и РАР-объекты назовем объектами с простой помехой, если в правую часть уравнения объекта (1.2.1) входит только т. е. Примем ром уравнения РАР-объекта с простой помехой является уравнение (1.2.19), АР-объекта - (1.2.24), а АР-объекта тех случаях, когда в правую часть уравнения объекта (1.2.1) входят, кроме также и соответствующие объекты будем называть объектами с преобразованной помехой.

Далее всегда будет предполагаться, если нет особых оговдрок, что помехи образуют последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих симметричную плотность распределения т. е. четная функция:

Если, кроме того, имеет конечную дисперсию корреляционная функция помех равна

Очевидно, что

Внешнее воздействие вообще говоря, может быть произвольным. Для режима нормальной работы оно представляет собой стационарный случайный процесс со средним и дисперсией Помеху будем считать не зависящей от входных воздействий Именно эти предположения, если нет особых оговорок, и будем далее иметь в виду.

Для любых нелинейных преобразований помехи и получим при (считая, что математические ожидания существуют)

Если же — нечетная функция, т. е.

Из общего уравнения линейного динамического объекта нетрудно видеть, что при не зависят от Поэтому

а учитывая (1.2.42), получаем

Диалогично (1.2.43), при

и если — нечетная функция, то

Случай коррелированных помех, для которых условия, подобные приведенным выше, не выполняются, будет рассмотрен в главе 8.

Идентификация линейных объектов состоит в оценке основных параметров либо дискрет по наблюдаемым величинам: входной величине и выходной величине для и РАР-объектов или только по выходной величине для АР-объектов.