§ 8.2. Алгоритмы со скалярной матрицей усиления
Рассмотрим абсолютно оптимальный алгоритм идентификации
где
Заменим в нем полную матрицу усиления (3.1.12)
скалярной матрицей усиления
В этом случае мы приходим к алгоритму типа классической стохастической аппроксимации
Для такого алгоритма матричное уравнение (1.6.20), определяющее АМКО 
, после замены в нем матрицы В на скалярную матрицу 
примет вид
где, в отличие от (1.6.21), теперь
Выберем величину 
равной
где 
норма обратной нормированной информационной матрицы 
представляющая собой максимальное
собственное число 
Подставляя значение 
в матричное уравнение (8.2.4), получим
где
Решение этого матричного уравнения (8.2.7), (8.2.8), определяющее АМКО, как нетрудно проверить, имеет вид
Вычислим максимальное собственное значение АМКО, т. е. ее норму:
или
Пользуясь тождеством 
из (8.2.8) получаем
Следовательно, (8.2.10) запишется в виде
Норму 
можно рассматривать как меру скорости сходимости алгоритма (8.2.3) со скалярной матрицей усиления (8.2.2), (8.2.6). Оценим с помощью той же меры скорость сходимости алгоритма (8.2.1) с матрицей усиления 
Для этого алгоритма, как было установлено ранее, АМКО имеет вид
Норма этой АМКО равна
Сопоставляя (8.2.13) и (8.2.11), заключаем, что
Таким образом, скорость сходимости, оцениваемая нормой АМКО алгоритмов с полной (8-2.1) и, соответственно, скалярной (8.2.3), (8.2.6) матрицами усиления, одна и та же. А это значит, что АМКО достигает нижней границы неравенства Рао - Крамера относительно норм матриц. Следовательно, алгоритм
является абсолютно оптимальным в указанном выше смысле не только среди рекуррентных алгоритмов, но и среди всех алгоритмов, порождающих асимптотически несмещенные оценки.
Заметим, что, выбирая в качестве 
вместо (8.2.6) величину
мы получили бы аналогично 
и (8.2.14)
т. е. равенство минимальных собственных значений АМКО модифицированного и абсолютно оптимального алгоритмов.
Заменяя 
на 
и определяя 
можно получить реализуемые алгоритмы со скалярной матрицей усиления. Применение оптимальных на классе функций потерь приводит к абсолютно оптимальным на классе алгоритмам типа
Структурная схема этого алгоритма приведена на рис. 8.1.
