§ 6.3. Преобразование плотностей распределения линейным дискретным фильтром

Найдем невязку при равенстве основных параметров оптимальной настраиваемой модели и объекта, т. е. при и в предположении, что Уравнение оптимальной настраиваемой модели (6.2.19) в этом случае принимает вид

и значит

Заменяя в его значением из уравнения объекта (6.1.1), получим

Но для оптимальной настраиваемой модели справедливо условие независимости невязки от внешнего воздействия и условие (1.3.12). Поэтому из (6.3.3) будем иметь

Подставляя в (6.3.4) выражение для и (6.1.2), получим после сокращения на с учетом того, что

Для минимально-фазового объекта из (6.3.5) следует

т. е. невязка равна помехе.

Для неминимально-фазового объекта, подставляя в получим после сокращения на

Учитывая выражения будем иметь

Для неминимально-фазовых возмущению объектов равенство (6.3.6) заменяется уравнением (6.3.7), означающим, что в этом случае представляет собой не просто помеху как это следует из (6.3.6), а является результатом прохождения помехи через некоторую динамическую систему — дискретный фильтр. Передаточная функция такого дискретного фильтра, как это видно равна

Выясним некоторые особенности этого фильтра. Полагая в найдем частотную характеристику фильтра

или, в развернутой форме,

Нетрудно видеть, что

Следовательно,

т. е. модуль частотной характеристики есть постоянная величина. А это значит, что такой дискретный фильтр не вносит корреляции. Иначе говоря, при воздействии на фильтр с передаточной функцией (6.3.9) некоррелированной помехи (белого шума) его выходная величина будет также некоррелированна. Однако в отличие от вообще говоря, уже не будет независимой. Дисперсия выходной величины этого фильтра будет равна

Это значит, что дисперсия выходной величины дискретного фильтра пропорциональна дисперсии помехи с коэффициентом пропорциональности Отсюда следует, что если дисперсия, характеризующая параметр масштаба плотности распределения входной

величины конечна, то дисперсия, характеризующая параметр масштаба плотности распределения выходной величины фильтра превышает ее в раз, где порядок неминимально-фазовости объекта по возмущению. Для неминимально-фазовых объектов нормированная информационная матрица равна не как это было ранее, а Разумеется, плотность распределения теперь будет отличаться от плотности распределения

Для определения плотности распределения но необходимо решить задачу преобразования плотности распределения линейным дискретным фильтром, передаточная функция которого равна Воспользуемся уравнением (6.3.7). Разлагая входящую в него передаточную функцию по степеням и учитывая, что представим в виде бесконечной суммы взвешенных помех

где коэффициенты, стремящиеся к нулю при Определение плотности распределения теперь сводится к определению плотности распределения суммы взвешенных независимых случайных помех, т. е. к многократному применению операции свертки к плотности распределения помех Эта громоздкая операция может быть обойдена, если воспользоваться понятием характеристической функции которая связана с плотностью распределения прямым преобразованием Фурье

Примеры некоторых плотностей распределения и соответствующих характеристических функций приведены в табл. 6.1. Здесь же приведены и основные свойства плотностей распределения и соответствующих им характеристических функций для суммы независимых случайных величин и случайной величины Поскольку характеристическая функция суммы независимых величин равна произведению характеристических функций слагаемых, то из (6.3.15) получаем

и, значит, согласно обратному преобразованию Фурье

Таблица 6.1 (см. скан) Плотности распределения и характеристические функции

Как видно из табл. 6.1 и (6.3.17), (6.3.18), в общем случае функционально отличается от а значит, и функционально отличается от Явное аналитическое выражение для (6 3.18) удается найти лишь в редких случаях. Физически это означает, что, вообще говоря, фильтр преобразует заданные плотности распределения скажем, типа Лапласа секансную логистическую в плотности распределения нового типа, ранее не встречавшиеся в статистике. Эти новые плотности могут быть найдены лишь численными методами по формулам (6.3.16), (6.3.17). Единственное, что можно сказать относительно этих плотностей, это то, что их параметр масштаба (дисперсия) удовлетворяет равенству (6.3.14).

Однако существуют такие плотности распределения которые преобразуются дискретным фильтром в плотности распределений

того же типа, отличающиеся лишь параметром масштаба. Такие плотности распределения называются в статистике устойчивыми. Нетрудно видеть, что к устойчивым плотностям распределения среди симметричных плотностей относятся нормальная плотность распределения и плотность распределения Коши Это следует из того, что соответствующие им характеристические функции экспоненциальные (см. табл. 6.1), а произведение экспоненциальных функций — также экспоненциальная функция. Найденная по ней плотность распределения, таким образом, либо нормальна, если нормальная, либо типа Коши, если типа Коши.

Если

то

Этот факт следут также из устойчивости нормальной плотности распределения и выражения дисперсии выходной величины фильтра (6.3.14).

Если же

то

При неполной априорной информации относительно плотности распределения помех мы располагаем лишь сведениями о классе, которому принадлежит плотность распределения помех и возникает вопрос: если то какому классу будет принадлежать преобразованная линейным фильтром плотность распределения В ряде случаев ответ на этот вопрос получить нетрудно.

Если принадлежит классу невырожденных распределений то, очевидно, и принадлежит этому же классу, но условие теперь заменится где

Если принадлежит классу распределений с ограниченной дисперсией то в силу соотношения (6.3.14) и будет также

принадлежать этому теперь условие заменяется на

Если принадлежит классу финитных распределений то и будет также принадлежать этому же классу, но теперь условие заменится на

Можно предположить, что если принадлежит классу приближенно нормальных распределений то и будет принадлежать этому же классу, но представление плотностей распределения, входящих в этот класс теперь заменится на нормальная плотность распределения, произвольная плотность распределения, подлежит определению. Эта задача пока не имеет точного решения. Также отсутствуют решения и для других классов.