Главная > Информационная теория идентификации
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 6.3. Преобразование плотностей распределения линейным дискретным фильтром

Найдем невязку при равенстве основных параметров оптимальной настраиваемой модели и объекта, т. е. при и в предположении, что Уравнение оптимальной настраиваемой модели (6.2.19) в этом случае принимает вид

и значит

Заменяя в его значением из уравнения объекта (6.1.1), получим

Но для оптимальной настраиваемой модели справедливо условие независимости невязки от внешнего воздействия и условие (1.3.12). Поэтому из (6.3.3) будем иметь

Подставляя в (6.3.4) выражение для и (6.1.2), получим после сокращения на с учетом того, что

Для минимально-фазового объекта из (6.3.5) следует

т. е. невязка равна помехе.

Для неминимально-фазового объекта, подставляя в получим после сокращения на

Учитывая выражения будем иметь

Для неминимально-фазовых возмущению объектов равенство (6.3.6) заменяется уравнением (6.3.7), означающим, что в этом случае представляет собой не просто помеху как это следует из (6.3.6), а является результатом прохождения помехи через некоторую динамическую систему — дискретный фильтр. Передаточная функция такого дискретного фильтра, как это видно равна

Выясним некоторые особенности этого фильтра. Полагая в найдем частотную характеристику фильтра

или, в развернутой форме,

Нетрудно видеть, что

Следовательно,

т. е. модуль частотной характеристики есть постоянная величина. А это значит, что такой дискретный фильтр не вносит корреляции. Иначе говоря, при воздействии на фильтр с передаточной функцией (6.3.9) некоррелированной помехи (белого шума) его выходная величина будет также некоррелированна. Однако в отличие от вообще говоря, уже не будет независимой. Дисперсия выходной величины этого фильтра будет равна

Это значит, что дисперсия выходной величины дискретного фильтра пропорциональна дисперсии помехи с коэффициентом пропорциональности Отсюда следует, что если дисперсия, характеризующая параметр масштаба плотности распределения входной

величины конечна, то дисперсия, характеризующая параметр масштаба плотности распределения выходной величины фильтра превышает ее в раз, где порядок неминимально-фазовости объекта по возмущению. Для неминимально-фазовых объектов нормированная информационная матрица равна не как это было ранее, а Разумеется, плотность распределения теперь будет отличаться от плотности распределения

Для определения плотности распределения но необходимо решить задачу преобразования плотности распределения линейным дискретным фильтром, передаточная функция которого равна Воспользуемся уравнением (6.3.7). Разлагая входящую в него передаточную функцию по степеням и учитывая, что представим в виде бесконечной суммы взвешенных помех

где коэффициенты, стремящиеся к нулю при Определение плотности распределения теперь сводится к определению плотности распределения суммы взвешенных независимых случайных помех, т. е. к многократному применению операции свертки к плотности распределения помех Эта громоздкая операция может быть обойдена, если воспользоваться понятием характеристической функции которая связана с плотностью распределения прямым преобразованием Фурье

Примеры некоторых плотностей распределения и соответствующих характеристических функций приведены в табл. 6.1. Здесь же приведены и основные свойства плотностей распределения и соответствующих им характеристических функций для суммы независимых случайных величин и случайной величины Поскольку характеристическая функция суммы независимых величин равна произведению характеристических функций слагаемых, то из (6.3.15) получаем

и, значит, согласно обратному преобразованию Фурье

Таблица 6.1 (см. скан) Плотности распределения и характеристические функции

Как видно из табл. 6.1 и (6.3.17), (6.3.18), в общем случае функционально отличается от а значит, и функционально отличается от Явное аналитическое выражение для (6 3.18) удается найти лишь в редких случаях. Физически это означает, что, вообще говоря, фильтр преобразует заданные плотности распределения скажем, типа Лапласа секансную логистическую в плотности распределения нового типа, ранее не встречавшиеся в статистике. Эти новые плотности могут быть найдены лишь численными методами по формулам (6.3.16), (6.3.17). Единственное, что можно сказать относительно этих плотностей, это то, что их параметр масштаба (дисперсия) удовлетворяет равенству (6.3.14).

Однако существуют такие плотности распределения которые преобразуются дискретным фильтром в плотности распределений

того же типа, отличающиеся лишь параметром масштаба. Такие плотности распределения называются в статистике устойчивыми. Нетрудно видеть, что к устойчивым плотностям распределения среди симметричных плотностей относятся нормальная плотность распределения и плотность распределения Коши Это следует из того, что соответствующие им характеристические функции экспоненциальные (см. табл. 6.1), а произведение экспоненциальных функций — также экспоненциальная функция. Найденная по ней плотность распределения, таким образом, либо нормальна, если нормальная, либо типа Коши, если типа Коши.

Если

то

Этот факт следут также из устойчивости нормальной плотности распределения и выражения дисперсии выходной величины фильтра (6.3.14).

Если же

то

При неполной априорной информации относительно плотности распределения помех мы располагаем лишь сведениями о классе, которому принадлежит плотность распределения помех и возникает вопрос: если то какому классу будет принадлежать преобразованная линейным фильтром плотность распределения В ряде случаев ответ на этот вопрос получить нетрудно.

Если принадлежит классу невырожденных распределений то, очевидно, и принадлежит этому же классу, но условие теперь заменится где

Если принадлежит классу распределений с ограниченной дисперсией то в силу соотношения (6.3.14) и будет также

принадлежать этому теперь условие заменяется на

Если принадлежит классу финитных распределений то и будет также принадлежать этому же классу, но теперь условие заменится на

Можно предположить, что если принадлежит классу приближенно нормальных распределений то и будет принадлежать этому же классу, но представление плотностей распределения, входящих в этот класс теперь заменится на нормальная плотность распределения, произвольная плотность распределения, подлежит определению. Эта задача пока не имеет точного решения. Также отсутствуют решения и для других классов.

1
Оглавление
email@scask.ru