§ 4. Модели развития организма

Процесс развития организма в целом схож с процессом эволюции; это послужило основанием для утверждения: онтогенез есть повторение филогенеза. Сейчас, однако, ясно, что это нельзя понимать буквально, поскольку между ними есть весьма существенные различия.

Напомним кратко основные черты онтогенеза, акцентируя внимание на свойствах, важных для построения модели.

После оплодотворения начинается дробление яйцеклетки. При этом общая биомасса почти не изменяется, но число клеток увеличивается на два-три порядка. На этой стадии, называемой бластулой, все клетки мало отличаются друг от друга и практически взаимозаменяемы. Отличие тем не менее существует, оно связано с неравномерностью распределения веществ в плазме яйцеклетки еще до оплодотворения и с неоднородностью поверхности.

За бластулой следует стадия гаструлы. При этом происходит изменение формы клеточного ансамбля, образуется внутренняя полость («желудок»), связанная с внешней средой узким проходом. Одновременно с этим происходит и разделение клеток по функциям — первый акт дифференциации. Образуются разные сорта клеток: внутренний слой (мезодерма) и внешний (энтодерма). При этом клетки разных тканей уже существенно отличаются друг от друга. Таким образом, изменение формы организма и изменение метаболизма отдельных клеток связаны друг с другом. Тем не менее эти процессы часто рассматриваются отдельно; первый называется морфогенезом, второй — дифференциацией. Разграничение связано с тем, что для первого очень существенно взаимное влияние клеток друг на друга. Для моделирования его необходимо сразу рассматривать ансамбль клеток (см. гл. 11). При дифференциации влияние соседних клеток также существенно, но многие черты процесса можно понять, исследуя свойства отдельной клетки. С точки зрения математической модели это значит, что в первую очередь нужно рассмотреть точечную модель.

Важно, что каждая из последующих стадий начинается лишь после завершения предыдущей. Способность ткани переходить к следующей стадии развития (степень ее подготовленности к этому) называется компетенцией.

Факторы, влияющие на дифференциацию и морфогенез, получили название индукторов, а само явление — название индукции. Индукторами могут быть самые разнообразные вещества и факторы,

как биологического происхождения, так и чисто физические (точнее — физико-химические). Например, переключение клетки может произойти в результате контакта ее с уже сформировавшейся тканью. Можно думать, что при этом из ткани в клетку поступают специфические биологические вещества (типа белков или кофакторов). Такие индукторы можно назвать специфическими.

С другой стороны, переключение могут вызывать: изменение кислотности, солевого состава, механические напряжения, электрический потенциал и т. п. Эти факторы называют физическими, дабы подчеркнуть их отличие от предыдущих.

При нормальном течении процессов дифференциации и морфогенеза индукция тоже имеет место. На ранних стадиях развития индукторами служат вещества плазмы яйцеклетки и ее оболочки (как уже упоминалось, они распределены неравномерно). На более поздних стадиях индукторами служат ткани, уже сформировавшиеся ранее. Способность к переключению по мере развития организма уменьшается: на стадии бластулы это происходит легко; ткани, возникающие позже, склонны к этому в меньшей степени. Клетки, способные к переключению, называются омнеопатентными (или тотепатентными).

Сопоставляя процессы онтогенеза и филогенеза, можно отметить следующее. В онтогенезе, так же как в эволюции биосферы, имеет место смена дивергентных и конвергентных стадий, которые протекают быстро по сравнению со стадиями «оформившейся» ткани. Число промежуточных форм, т. е. клеток, которые трудно отнести к той или иной ткани, в каждый момент времени мало, оно велико только в самый переходный момент дифференциации. Другими словами, как и в эволюции, соблюдается принцип дискретности конечных форм. В отличие от процессов эволюции, клетки в конвергентной фазе не отмирают, а перестраиваются. Это означает, что механизм конвергентных фаз основан не на отборе и вымирании, а на переключении.

Отмирание клеток в онтогенезе также имеет место, но играет меньшую роль, нежели в эволюции. Это различие учитывается при построении модели. Так, вымирание (уничтожение) нежелательных элементов описывалось членами типа В организме целесообразнее не уничтожать готовый «нежелательный» продукт, а препятствовать его появлению; в модели этому соответствует не увеличение отрицательных членов, а уменьшение положительных. Последнее, как это принято в биохимической кинетике, описывается мероморфными дробеподобными функциями. Иными словами, положительный член, соответствующий притоку какого-либо компонента, представляет собою дробь, в знаменателе которой учтены эффекты ингибирования.

Важную роль в онтогенезе играет динамика субстратов. Выедание «своего» субстрата и обогащение пространства «чужим» способствуют переключению клетки в иной режим работы; этот эффект, важный в модели сосуществования видов, оказывается также существенным и в морфогенезе (см. гл. 11).

В эволюции биосферы можно также найти аналогию и явлению компетенции. Дело в том, что способность перейти в дивергентную фазу возникает не сразу, а лишь в связи с исчерпанием исходных субстратов, связанным с накоплением биомассы. При этом теряется устойчивость популяции к генетическим изменениям. Эмбриональная компетенция по существу означает потерю устойчивости к внешним воздействиям, в частности, к действию индуктора. Это связано с повышением уровня метаболизма клетки, который здесь является аналогом численности популяции.

Несмотря на наличие общих черт между онтогенезом и филогенезом, между ними существует весьма важное различие. В эволюции каждый акт разветвления связан со случайностью — появлением положительной мутации. В онтогенезе каждый шаг (в том числе и разветвление) предопределен. Процесс в целом динамический (или почти динамический) и, по возможности, защищен от случайных внешних влияний. Если в эволюции древние формы не знали, во что они превратятся, то в онтогенезе информация о строении взрослой особи уже содержится в оплодотворенной яйцеклетке. В связи с этим при моделировании развития не встает вопрос о малой вероятности каждого события (т. е. проблема информационной малости). Новая информация в онтогенезе хотя и возникает, но в гораздо меньшем количестве, чем в эволюции. Зато встает другая проблема — каков механизм реализации генетической информации, позволяющий пронести ее от оплодотворенной яйцеклетки до взрослого организма; это главный вопрос биологии развития, его обсуждение мы продолжим в гл. 11.

В этом разделе мы рассмотрим модели дифференциации клетки — переключения ее с одного режима работы на другой без изменения количества генетической информации.

В биологии известны два разных типа переключения. Во-первых, обратимое переключение, которое может осуществиться при жизни клетки и неоднократно. Примером может служить адаптация к новому субстрату. Одним из наиболее ярких свойств его является наличие лаг-периода, в течение которого клетки не потребляют ни тот, ни другой субстрат. Именно на этом примере Жакобом и Моно [19] был исследован молекулярный механизм переключения у прокариотов. Во-вторых, блокировка — необратимое (в течение жизни клетки) переключение, которое происходит при делении. Этот процесс исследован в работах Цанева и Сендова (Там же предложен сам термин.) Примером необратимого переключения может служить дифференциация в кроветворной и иммунной системах. Здесь в каждом из поколений дочерние клетки отличаются от материнских, а клетки последнего поколения (например, эритроциты) вообще не делятся и по прошествии определенного времени отмирают. Динамические модели этих процессов рассмотрены в гл. 5.

Ниже мы рассмотрим модель элементарного акта переключения. Основная цель модели выяснение общих принципов регулирования переключением. В соответствии с этим нужно: 1. Построить по

возможности простую (базовую) модель, учитывающую молекулярные механизмы процесса и описывающую его основные свойства. Из изложенного выше ясно, что модель должна иметь триггерный характер и содержать нелинейные члены типа дроби. 2. На основе модели обсудить имеющиеся экспериментальные данные, наметить возможные пути дальнейшего исследования и ответить на вопрос, каковы основные принципы регуляции переключением.

Молекулярный механизм регуляции, предложенный Жакобом и Моно, сейчас широко известен. Напомним его основные этапы. Транскрипцией информации с гена управляет специальный участок — оперон: образование информационной РНК возможно, только если оперон открыт, и запрещено, если он зарепрессирован. Репрессия происходит в результате соединения оперона со специальным белком — репрессором, за синтез которого ответствен ген-регулятор. Активность белка-репрессора зависит от наличия низкомолекулярного соединения — корепрессора; только в комплексе с последним репрессор садится на оперон. В регуляторном плане наиболее важную роль играет корепрессор; он является продуктом процессов в плазме клетки и несет информацию о том, нужен ли синтез данного белка или необходимость в нем отпала.

Процесс регуляции у эукариотов более сложен и громоздок. Так, имеется несколько оперонов (вместо одного), каждый из которых может запретить транскрипцию; последняя начинается, только если получено разрешение от всех инстанций. При этом считывается длинный участок ДНК, содержащий несколько генов, кодирующих несколько белков. Информационная РНК подвергается далее цензуре: из нее вырезаются определенные участки и оставшиеся сшиваются. Кроме того, ядерные белки могут препятствовать транскрипции — блокировать геном. Информация о том, синтез каких именно белков должен быть запрещен, должна поступать из окружения через мембрану и плазму в виде низкомолекулярных соединений.

Перечисленные механизмы, которые иногда называют «молекулярной бюрократией», имеют целью затруднить переключение и тем предохранить клетку от слишком поспешных решений. При этом принцип регуляции остается прежним: подавление синтеза не нужных в данных условиях белков. В связи с этим для описания переключения у клеток всех организмов можно использовать общую базовую модель, основанную на принципах Жакоба и Моно. Параметры модели (например, порядок репрессии) могут существенно различаться. Новым элементом у высших, возможно, является эффект блокировки, который наиболее выражен у сложных организмов.

Итак, рассмотрим базовую модель, следуя [П47, 21]. Согласно Жакобу и Моно, мультистационарный (или триггерный) режим экспрессии генов возникает, когда две системы синтеза белков и связаны альтернативно. При этом продукт каждой из них, является корепрессором для другой, так что при достаточна

сильной репрессии может работать только одна из систем синтеза (другая при этом зарепрессирована).

Математическая модель этого процесса была построена и исследована в [21] (далее модель ЖМ). В конечном и безразмерном виде она достаточно проста и имеет форму

Эта модель была получена путем редукции (по Тихонову) полной системы, учитывающей упомянутые выше процессы. Полный вывод системы проведен в книге

Поясним смысл переменных и параметров модели ЖМ. Переменные концентрации специфических метаболитов, например, корепрессоров — продуктов в естественных для них единицах. Единицей времени здесь является характерное время ферментативных реакций — порядка минут. Параметр отражает наибольший порядок реакций репрессии.

Параметры комбинированные, они зависят от субстратов и от активности и содержания ферментов базового метаболизма. Дело в том, что при синтезе белков потребляется энергия (т. е. макроэргические соединения типа и и используются неспецифические субстраты — низкомолекулярные соединения, необходимые для синтеза аминокислот. Поэтому можно считать, что параметры отражают уровень базового метаболизма (в частности, энергетического). В безразмерной модели ЖМ параметры оба порядка единицы. В случае, когда обе системы синтеза одинаковы (потребляется одинаковое количество энергии и концентрации субстратов тоже одинаковы), параметры равны друг другу и модель (2.17) симметрична. Этот случай наиболее прост и мы начнем с него.

Рис. 2.6. Фазовый портрет системы (2.17) при Имеется одно стационарное состояние, соответствующее омнеопатентности.

Рассмотрим поведение модели (2.17) при различных значениях показателя При система имеет всего одно симметричное стационарное решение. Действительно, число стационарных состояний равно числу положительных вещественных корней уравнения

которое при любых значениях имеет один положительный корень.

Фазовый портрет системы изображен на рис. 2.6. Из него видно, что имеется одна устойчивая особая точка типа узла; такая система не может работать как триггер.

Отсюда можно сделать первый вывод: для того чтобы система Жакоба и Моно была триггерной, необходимо, чтобы в процессах корепрессии участвовало несколько (две или больше) молекул продукта. С биологической точки зрения этот вывод не кажется неожиданным.

При число Стационарных состояний равно числу положительных вещественных корней уравнения

При имеется всего одно решение оно устойчиво. Фазовый портрет системы имеет тот же вид, что и на рис. 2.6 (особая точка — устойчивый узел). Система при этом не имеет триггерных свойств. При появляются три стационарных состояния (рис. 2.7), крайние из них устойчивы (типа узла), среднее неустойчиво (седло). Величину также можно считать бифуркационным значением стационарных концентраций. Устойчивый узел преобразуется в седло и в его окрестности возникают два устойчивых узла. В терминах теории катастроф эта бифуркация соответствует сборке.

Рис. 2.7. Фазовый портрет системы (2.17) при Имеется три стационарных состояния, 1 и 3 — устойчивы. Пунктир — траектория системы при силовом переключении.

Отсюда можно сделать второй вывод: триггерный режим в модели ЖМ возникает только при больших значениях А, т. е. при достаточно высоком уровне базового метаболизма.

Обратимся снова к фазовому портрету триггерного режима (рис. 2.7). В устойчивой точке 1, соответствующей работе в первом режиме, величина много меньше но не равна нулю (обратная ситуация — в точке 2). Величину можно назвать амплитудой триггера Эта важная характеристика отражает полноту переключения, т. е. показывает, насколько один из режимов отличается от другого. Практически, как правило, переключение считают «полным», если амплитуда его В рассматриваемой модели амплитуда зависит от параметра А. Вблизи точки бифуркации амплитуда не очень велика и переключение нельзя считать «полным». Однако уже при переключение практически будет «полным».

Другая независимая характеристика — «грубость» триггера. Она отражает чувствительность фазового портрета к изменению параметров. Лучшее представление о «грубости» можно получить из самого фазового портрета: если главные изоклины расположены

близко друг к другу и для их «перехлестывания» необходимо сравнительно небольшое изменение параметров — такой триггер можно считать «не очень грубым». При 1 грубость увеличивается и в пределе изоклины пересекаются под прямым углом. Таким образом, грубостью триггера управляет параметр порядок реакции репрессии.

Третью характеристику можно назвать глубиной переключения. Представление о ней дает расположение особых точек на фазовом портрете. В нашем случае седловая точка ближе к началу координат, чем любая из устойчивых. Мерой глубины можно считать отношение

где 2 — сумма переменных в точках 1 или то же в седловой точке 3. Величина у растет при увеличении интенсивности метаболизма ниже мы увидим, что параметр у связан с глубиной и продолжительностью лаг-периода.

В несимметричной модели качественная картина сохраняется, но характер бифуркации несколько меняется. В этом случае имеются два параметра триггерный режим наступает только тогда, когда каждый из них больше двух. При этом фазовый портрет теряет симметрию и сильно искажается даже при небольшой разнице вследствие недостаточной грубости системы.

Так, при бифуркация имеет место при При этом имеются стационарное состояние преимущественного синтеза продукта (состояние и два слившихся состояния (изоклины касаются друг друга) при При имеется только одно состояние 2; при имеются три состояния, среднее из них типа седла и крайние — узловые. При дальнейшем увеличении средняя точка движется влево и при сливается с левой точкой и обе исчезают. Остается только одно правое состояние 1, в котором велико и мало. На языке теории катастроф обе бифуркации соответствуют складке.