§ 3. Стационарные бегущие импульсы

Так же, как для случая задачи о распространении фронта возмущения, важнейшими вопросами, на которые должно ответить исследование решений базовой модели, являются вопросы о скорости, форме и устойчивости стационарного БИ. Как решается эта задача, мы покажем на примере так называемой системы Фитц — Хью - Нагумо (ФХН), которая выглядит следующим образом:

и является хорошей моделью для изучения БИ в нервном волокне Фазовая плоскость точечной системы ФХН показана на рис. 9.4. Точка пересечения главных изоклин (точка О) — устойчивый узел с координатами х и у. Пусть начальные условия таковы, что Тогда произойдет быстрый (за время скачок из начальной точки в точку С, затем изображающая точка будет медленно двигаться от С до В.

Рис. 9.4. Фазовый портрет точечной системы ФХН (9.12).

В точке В произойдет срыв медленного движения и система «мгновенно» (по быстрой траектории перейдет на левую ветвь изоклины Р(х, у)=0. Затем она медленно возвращается от до О. В результате в системе генерируется почти прямоугольный импульс с резкими передним и задним фронтами. Заметим, что если то изображающая точка мгновенно вернется в состояние равновесия. Как мы увидим в дальнейшем, в распределенной системе (9.12) могут сформироваться два БИ: один устойчивый, соответствующий траектории точечной модели, и другой неустойчивый, который соответствует возврату изображающей точки в «0» при

Теперь обратимся к уравнениям (9.12) в частных производных. Если по координате имеется диффузионная связь лишь по быстрой переменной х, то, не ограничивая общности, уравнения (9.12) можно записать в виде

Здесь

Для изучения стационарного БИ так же, как и в § 2, воспользуемся автомодельной переменной Тогда из (9.13) получаем систему третьего порядка в обыкновенных производных

Исследованию решений этой системы посвящено большое число работ, хороший обзор которых дается в [9].

Приведем без доказательства основные результаты изучения уравнений ФХН (9.13а) в фазовом пространстве (х, для случая, когда параметр

Рис. 9.5. а) Бегущий импульс в системе устойчивый, В — неустойчивый. Штриховой линией показаны возмущения, релаксирующие к равновесному состоянию, либо к устойчивому Квазистохастические волны в системе ФХН

1. Имеются два решения, описывающие распространение одного устойчивого и одного неустойчивого БИ (рис. 9.5, а), соответствующие двум значениям скорости (кривые ). В устойчивом БИ можно выделить несколько участков: 1 — резкий передний фронт, 2 — медленно убывающая вершина, 3 — резкий задний фронт и 4 — медленная релаксация в исходное состояние.

Рис. 9.6. а) Гомоклииические фазовые траектории, соответствующие БИ в трехмерном фазовом пространстве , у) для системы (9.13) [8]; константы при 1. Цикл А соответствует устойчивому состоянию, б) Фазовые траектории квазистохастических воли [28].

Отдельные участки устойчивого БИ соответствуют отрезкам гомоклинической траектории А в трехмерном фазовом пространстве (рис. 9.6, а), 1 и 3 — участки быстрых движений для переменной и 4 — медленных. Участки траектории 1 и 3 при лежат на поверхностях, близких к плоскостям где координаты точки В на изоклине (см. рис. 9.4).

Замкнутая гомоклиническая траектория В на рис. 9.6, а соответствует неустойчивому БИ. На рис. 9.7 показана зависимость скоростей устойчивого и неустойчивого БИ от параметра При значении гомоклинических траекторий не существует.

Рис. 9.7. Зависимость скорости распространения стационарных БИ от степени релакса ционности область стационарных декрементиая область, а — устойчивая и -неустойчивая ветви кривой [8].

2. Для установившегося БИ скорости переднего и заднего фронтов должны быть одинаковы. Они находятся согласно следующей схеме вычислений. Решение системы (9.13а) в области быстрого переднего фронта ищется в виде рядов

Подставляя эти ряды в (9.13а) и приравнивая члены при одинаковых степенях получим цепочку уравнений для участков быстрых движений:

Величину скорости в нулевом приближении легко найти, решая первое уравнение системы (9.14), которое ничем не отличается от уравнения для фронта возмущения (9.6). Также путем интегрирования находится поправка

3. Отметим также, что система ФХН при определенных параметрах испытывает бифуркацию, которая приводит к появлению в нуле сложной особой точки типа седло-фокус. При этом траектории в фазовом пространстве могут иметь сложный «многообходный» характер. Соответствующие последовательности БИ носят признаки квазистохастичности и состоят из больших выбросов с различным числом малых осцилляций между ними (см. рис. 9.5, б — и 9.6,б).

Мы видим, что нахождение гомоклинической траектории и отыскание скоростей даже для установившихся не простые задачи. Тем более, что найденная форма БИ требует испытания на устойчивость (см. [9]). Ниже мы рассмотрим, как найти приближенно с помощью более простого метода стационарный БИ и как изучить процесс его установления. При этом базовая модель берется в более общем виде, чем система