§ 4. Процесс установления бегущего импульса

В. Г. Яхно с помощью простого качественного метода разделения движений на быстрые и медленные смог исследовать самые различные случаи распространения БИ и процессов их установления (см. обзоры Впервые такой метод был применен Хохловым для гиперболических систем [10].

Согласно этому методу в базовой модели (9.11) на быстром этапе движения за время порядка функция не успевает измениться. Поэтому на этом этапе, который описывает передний фронт БИ, базовую модель можно представить в виде

Здесь «быстрое» время, у — параметр. Заметим, что (9.15) почти совпадает с уравнениями первого приближения (9.14). Для медленных этапов становления БИ в (9.11) можно пренебречь членом тогда получим

Решая уравнения (9.16), получим Далее функцию у как неизменный параметр подставляем в быстрое уравнение (9.15), откуда находим скорость фронта БИ. Заметим, что это упрощение не снимает всех вычислительных трудностей и, вообще говоря, остается необходимость использования ЭВМ.

К упрощению базовой системы можно подойти и с точки зрения выделения быстрых и медленных изменений в пространстве. Дело в том, что в задачах диффузии можно выделить характерную, или так называемую диффузионную, длину

где характерное время процесса. Если характерные масштабы изменения велики по сравнению с диффузионной длиной, то от системы (9.11) можно перейти к точечной модели. В этом случае х и у изменяются при всех синхронно и синфазно.

Итак, из уравнения (9.15) можно определить скорость распространения фронта БИ как функцию параметра у— значения медленной переменной в районе локализации фронта. Если полином третьей степени, то скорость будет определяться по формуле (9.9). Функция также нахо»

дится достаточно просто, если аппроксимируется отрезками прямых. Ясно получил выражение для случая, когда представляется полиномом пятой степени [5], при этом решения базовой системы более точно описывают распространение нервных импульсов.

Рис. 9.8. Зависимость скорости фронта от медленной переменной

Рассмотрим с помощью качественных представлений процесс формирования и распространения БИ в возбудимой среде в ждущем режиме. Пусть изоклина представляет собой симметричную -образную кривую, а узловая точка равновесия расположена так же, как и в системе ФХН (см. рис. 9.4). Тогда функция обязательно меняет знак (рис. 9.8). Обозначим через значение у, при котором происходит изменение знака. Зададим начальное возмущение на участке протяженностью больше диффузионной длины Предположим, что —достаточно плавная функция причем

Тогда процесс формирования БИ может быть разделен на несколько стадий, а) Начальный профиль возмущения за время принимает почти прямоугольную форму. Действительно, так как начальное возмущение гладкое, каждая точка, где на фазовой плоскости ведет себя независимо от других (см. рис. 9.4). Иными словами, на первой стадии работают «точечные» уравнения системы (9.11). Края образовавшегося импульса формируются в стационарные фронты, которые распространяются симметрично вправо и влево. Поэтому достаточно проследить эволюцию импульса в одном направлении, б) Передний фронт БИ движется с постоянной скоростью его вершина или «плато» формируется независимо в каждой точке. Когда система в медленном движении достигает точки В, происходит срыв по быстрой траектории и появляется новый стационарный фронт — спад БИ. Он движется в ту же сторону, что и передний фронт со скоростью (Заметим, что положительный перепад со скоростью двигался бы в противоположную сторону!) Процесс формирования импульса для этого случая показан на рис. 9.9. Длительность плато образовавшегося таким образом БИ можно определить по формуле

так как для медленных движений гладкой вершины справедливы точечные уравнения (9.11) при Начальная длина БИ соответственно равна

При симметричном виде скорость (по модулю) Поэтому длина БИ сокращается, задний фронт постепенно догоняет передний, пока при некотором значении и не приобретает свою стационарную форму. При медленном движении по участку изоклины от точки до точки О формируется длинный хвост БИ.

Рис. 9.9. Процесс формирования БИ при Профили х (сплошная линия) и у (штрих-пунктирная линия) в разные моменты времени, б) Формирование БИ на плоскости заштрихованная область соответствует возбужденному состоянию.

Если то в системе возникнет неустойчивый БИ, такой же самый, как и в системе ФХН (см. кривые В на рис. 9.5 и 9.6). Совершенно другое поведение будет в случае, когда узловая особая точка лежит выше критического значения При этом начальное возмущение даже при большой величине схлопывается за конечный промежуток времени.