ЧАСТЬ I. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БИОФИЗИЧЕСКОЙ КИНЕТИКИ

ГЛАВА 1. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ И ИССЛЕДОВАНИЯ КИНЕТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

В настоящей главе мы дадим общий вид уравнений, которые служат математическими моделями в биологической кинетике. Эти модели распадаются на два класса. Первому классу, «точечным системам», представляющим собой уравнения в обыкновенных производных, посвящена первая часть монографии. Второму классу, «распределенным системам», представляющим собой уравнения в частных производных, посвящена вторая часть книги. Безусловно, все процессы в живых организмах или в сообществах живых объектов разворачиваются как во времени, так и в пространстве. Поэтому наиболее адекватные модели этих процессов являются системами уравнений в частных производных. Однако, как это будет показано ниже, в очень большом числе случаев можно считать, что во всех частях рассматриваемого объема процессы синхронны и, следовательно, зависимость от координат отсутствует.

В первой главе будут также обсуждены основные положения качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений и описаны методы редукции кинетических моделей (понижения их порядка). Особое внимание будет уделено проблеме бифуркации фазового пространства. Эти сведения понадобятся для понимания материала как I, так и II частей книги. Методы исследования распределенных моделей более сложны и разнообразны. Поэтому о них будет говориться во II части применительно к тем классам задач, которые там обсуждаются.

§ 1. Особенности биологической кинетики

Рассмотрим автономные точечные модели; они описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений:

Величины нелинейные функции кинетических или динамических переменных Как правило, они состоят из нескольких слагаемых. Положительные члены описывают прибыль компонента отрицательные — убыль. Для построения системы

достаточно знать скорости притока и оттока каждого компонента и их зависимость от переменных

Модели типа (1.1) являются простейшими. Можно указать два направления развития и усложнения этих моделей.

а) В случае распределенных систем необходимо учесть приток вещества в данный элемент пространства и отток из него, связанные с наличием, градиентов концентраций Достаточно общими моделями таких систем являются квазилинейные уравнения параболического типа, которые описаны в гл. 8, § 1.

б) Если целью моделирования является изучение поведения системы в переменных внешних условиях (например, периодических или случайно меняющихся), то задача становится неавтономной. При этом сначала строится и исследуется автономная модель; затем, в зависимости от характера переменного внешнего воздействия, либо добавляются новые члены, явно зависящие от времени, либо постоянные коэффициенты заменяются переменными, также явно зависящими от времени.

Модели типа (1.1) получили широкое применение в химической кинетике. Модели «биологической кинетики», на наш взгляд, имеют ряд существенных отличий.

1. В химии в качестве кинетических переменных, как правило, выступают концентрации реагирующих веществ. В биологии в зависимости от задачи используются различные переменные: в биохимии это концентрации, в микробиологии — число микроорганизмов или их суммарная биомасса, в экологии — численность вида и т. п. В ряде задач в качестве переменных выступают такие физические величины, как мембранные потенциалы.

2. Химический процесс обычно разбивается на элементарные стадии, скорости которых зависят от динамических переменных достаточно прорто, т. е. нелинейные функции представимы в виде полиномов сравнительно низкой степени. Степень полинома в уравнении совпадает с порядком реакции.

В биохимии элементарным процессом является ферментативный акт. Скорость ферментативной реакции зависит от концентрации исходных веществ неполиномиально и в большинстве моделей биохимических процессов правые части системы (1.1) представляют собой комбинации дробных функций.

3. В химии, строго говоря, имеют дело с кинетическими системами, в которых рассматриваются лишь элементарные акты взаимодействия, исключающие автокатализ. В биологии же при описании размножения организмов авторепродукция (эквивалентная химическому автокатализу) представляет собой типичное явление.

4. Пространственная неоднородность и связанные с нею эффекты играют в биологии большую роль, чем в химии. Дело в том, что большинство биологических процессов локализовано в определенных участках клетки, которые отделены друг от друга мембранами. Эта гетерогенность пространства, разделение его на «кластеры», имеет очень важное, а во многих вопросах определяющее значение.

5. В обычных химических процессах число молекул любого из участвующих веществ, как правило, очень велико: порядка 10 23. Это связано с масштабами процесса и размерами сферы реакции. В биологии, как уже упоминалось, размеры сферы реакции значительно меньше, число участвующих в реакции молекул может быть и не очень велико. В некоторых случаях, когда речь идет о специфических макромолекулах, таких как ДНК, РНК и т. п., их числа могут быть порядка единицы. При этом само понятие «концентрация» требует специального обсуждения. Удобнее в этих случаях в качестве динамических переменных использовать вероятность застать макромолекулу в том или ином состоянии.

6. Часто высказывается мнение о том, что биологические процессы много сложнее химических и в этом их специфика. Нам кажется, что это не так. Действительно, биохимический элементарный акт — ферментативная реакция — сложнее химического и может быть представлен как совокупность нескольких химических элементарных актов. Однако то же самое можно сказать и о любом сравнительно простом химическом процессе. Например, процесс образования воды из кислорода и водорода при детальном его изучении также разбивается на несколько (около двадцати) элементарных стадий. Таким образом, число элементарных стадий (и число промежуточных продуктов) во всех случаях достаточно велико. Критерием простоты является не число элементарных стадий в рассматриваемом процессе, а возможность эффективного упрощения исходной системы, уменьшения числа уравнений и числа динамических переменных. В этом смысле биологические системы даже проще, чем химические. Большинство успешных моделей биологических процессов состоит всего из нескольких уравнений.

Причины, благодаря которым сложное становится более простым, мы обсудим ниже (в §§ 3, 4). Перед этим целесообразно напомнить некоторые математические методы исследования систем кинетических уравнений.