§ 6. Автономные источники волн в гомогенной активной среде

В нашей книге уделено много места процессам самоорганизации в активных кинетических системах, а именно, образованию диссипативных структур — стационарных во времени и пространстве распределений кинетических переменных. Однако проблема самоорганизации в распределенных термодинамически неравновесных средах может истолковываться много шире. Как опытные данные, так и современная теория АВ-процессов свидетельствуют в пользу существования устойчивых пространственно-временных режимов, отличных от синхронных и синфазных во всем пространстве автоколебаний. Какие же автономные динамические режимы в живых объектах и в химической кинетике известны на практике? Это прежде всего режимы ведущих центров (ВЦ), которые целесообразно разбить на три класса: а) ВЦ, который обычно называется «пейсмекером», — он возникает в неоднородной по пространству системе, б) ВЦ типа «эхо» и в) ВЦ, стабилизированные в пространстве и во времени. Начнем рассмотрение с пейсмекера.

а) Пусть во всем пространстве, за исключением небольшого изолированного участка, осуществляются синхронные автоколебания с некоторой частотой со. В изолированной подобласти находится генератор кинетических переменных с частотой Если включается слабая связь между генератором и остальным пространством, то во всей системе начинают распространяться автоволны. Переходный процесс приводит либо к синхронным во всем пространстве колебаниям с частотой, близкой к либо к сложному режиму биений. Пространство может быть и ждущей активной средой. Тогда задача сводится к уже рассмотренной выше Режим

пейсмекера, или водителя ритма, играет важную роль при моделировании работы синусного узла сердца [12] агрегации колоний слизевиков [23].

б) Режим «эхо» (взаимный перезапуск соседних элементов возбудимой среды) был обнаружен на аксиоматической модели Затем он был сконструирован и в распределенной кинетической системе. Строгую качественную теорию «эха» построить трудно. Обычно качественные соображения дополняются машинным экспериментом. Основным условием осуществления «эха» в двухкомпонентной релаксационной модели типа (9.11) является остановка фронта возбуждения. Для этого должен быть выбран соответствующий вид зависимости

Эта задача рассмотрена Яхно (см. [5, 24]). Им показано, что на основе базовой модели (9.11) в ее различных режимах: автоколебательном, триггерном или ждущем, возможно деление остановившегося фронта и распространение в обе стороны от точки стартинга бегущих импульсов. В общем случае условием возникновения БИ является наличие вблизи точки стартинга начального возмущения, которое занимает по координате отрезок, больший критического.

Другой пример периодического деления фронта возбуждения показан на рис. 9.11, взятом из работы

Рис. 9.11. Пример периодического деления фронта возбуждения Для развития процесса необходимо, чтобы

В этом случае, как и для других моделей «эхо», малые отклонения значений параметров специально подобранных приводят к разрушению источника после генерации нескольких БИ. Таким образом, периодический режим работы одномерного источника «эхо» оказывается не грубым режимом относительно вариации параметров системы. В частности, его разрушение происходит при уменьшении размеров области стартинга до величины порядка длины фронта возбуждения. Как ведет себя «эхо» в двумерных средах и какова его роль в образовании различных патологических режимов в моделях возбудимости сердечной мышцы — эти проблемы рассматриваются в монографии

в) В гомогенной активной среде могут спонтанно возникать самоподдерживающиеся локализованные стабильные источники автоволн — так называемые ведущие центры Наиболее четко экспериментально такие режимы прослеживаются в двумерных реакторах Заикина — Жаботинского. Если в пространстве

возникают несколько ВЦ с разными собственными частотами то автоволны, расходящиеся от них, встречаясь друг с другом, взаимодействуют. При этом более высокочастотные возбуждения выживают, а низкочастотные гаснут; в конечном итоге автоволны высокой частоты «накрывают» низкочастотные ВЦ, которые перестают существовать. Переходный режим в двумерном пространстве слагается из встречающихся автоволновых фронтов, которые могут образовывать сложную картину спиральных волн-ревербераторов.

Существует ряд теоретических подходов к объяснению режима ВЦ, которые сводятся к поиску простейших базовых моделей ВЦ, их качественному анализу и дополняющих его расчетам на ЭВМ. Наиболее последовательно модели ВЦ рассматривались в статьях Васильева, Поляковой, Заикина и Кавчинского [25—29]. Мы будем следовать, в основном, в своем изложении результатам работ [28, 29].

Все базовые модели стабильных ВЦ - трехкомпонентные. При этом роль первых двух переменных сводится к образованию релаксационной автоколебательной подсистемы. Третья переменная, распределяясь «в среднем» неоднородно по пространству, обеспечивает локальное увеличение частоты автоколебаний в некоторой части пространства, где и образуется ВЦ. В принципе, возможно образование ВЦ и в почти гармонической трехкомпонентной автоколебательной системе. Начнем изложение именно с этого случая.

Представим одномерное пространство в виде цепочки генераторов третьего порядка, как это делается в гл. 10 для связанных диффузией двухкомпонентных автоколебательных систем. Если цепочка состоит всего из двух одинаковых генераторов, то они будут работать в синхронном режиме. Однако в отличие от генераторов с двумя кинетическими переменными, которые могут работать лишь синфазно на синхронной частоте трехкомпонентные генераторы могут засинхронизоваться и в противофазном режиме. При этом их синхронная частота Это известное свойство генераторов с тремя переменными (см., например, [28]). В целом такие два связанные генератора представляют собой частотный триггер, переброс которого из одного состояния (синфазная генерация) в другое (противофазная генерация) происходит только при конечных внешних воздействиях.

В работах [25,28] была показана возможность осуществления противофазного синхронного режима в двух диффузионно связанных «брюсселяторах» (см. гл. 11), в которых в качестве третьей независимой переменной взята концентрация вещества А. Точечная модель такого генератора представляется в виде

где константы. В [28] построены примеры, где противофазная синхронная частота а синфазная в полтора раза меньше. В цепочке связанных диффузией систем возможен синфазный режим колебаний, а также возможно, что один или несколько соседних генераторов работают в противофазе с остальными. На границе такой группы возникает область, где генерация происходит на повышенной частоте по отношению к остальным звеньям цепи. Эта область и будет ВЦ. Заметим, что подробно устойчивость такого ВЦ не исследовалась.

Более тщательно изучались модели ВЦ в релаксационных трехкомпонентных средах. Особый интерес представляют модели, которые строились непосредственно для объяснения АВ-процессов в распределенных реакциях Белоусова — Жаботинского [П8, 29]. Такие модели имеют вид

или

где

Переменные х и у в (9.19) при фиксированном и образуют релаксационную автоколебательную точечную подсистему, фазовая плоскость которой показана на рис. 9.12. При данном расположении нуль-изоклин движение изображающей точки подсистемы вдоль верхнего участка нуль-изоклины у практически не зависит от значений а по нижнему — зависит, а именно: ускоряется при больших время движения по вертикальным «быстрым» участкам предельного цикла мало. В самом деле, так как при нижняя ветвь нуль-изоклины прижимается к оси на ней можно положить и скорость изменения координаты х тем

Рис. 9.12. Проекции главных изоклин и (показано пунктиром) и предельного цикла в случае ВЦ на плоскости х, у.

больше, чем больше

На верхнем же участке нуль-изоклины скорость изменения х в основном определяется членом так как у велико. Пусть теперь переменная так распределена в пространстве, что в некоторой области она имеет максимум. Покажем, что в этой области максимума может возникнуть ВЦ с частотой автоколебаний, превышающей частоту автоколебаний в других точках пространства. Действительно, при больших в этой области в силу предыдущих рассуждений период автоколебаний меньше, чем в соседних точках, а амплитуда (или размах колебаний х) больше, чем в соседних точках (см. рис. 9.12). Поэтому, если за единицу времени «в среднем» в этой области изменение х будет вносить больший вклад в уравнение для то оно будет поддерживать и даже увеличивать концентрацию (и уменьшать период!). С другой стороны, за счет диффузии область максимума z будет рассасываться. Если оба этих механизма изменения компенсируют друг друга, то ВЦ стабилизируется в пространстве. Для устойчивой работы ВЦ необходимо наложить на величины коэффициентов диффузии некоторые ограничения. Строгое доказательство устойчивости сложная проблема. Поэтому при исследовании моделей ВЦ широко применяется машинный эксперимент.

Мы уже говорили о возможной роли ВЦ разных типов в живых объектах. В заключение отметим, что ВЦ, стоячие волны и разнообразные типы стационарных ДС могут служить основой для построения моделей памяти в распределенных активных средах. Дело в том, что в одной и той же системе возможны при разных значениях параметров как стационарные, так и динамические ДС. Причем одни могут переходить в другие при изменении какого-либо параметра. Например, при и увеличении из стационарной ДС возникает динамическая. Такая система может хранить информацию в виде стационарной ДС, а при «запросе» может перейти в совокупность ВЦ или стоячую волну. Возможен и обратный процесс — запоминание частотных параметров системы. Другие подходы к «разнообразию возможностей» памяти в распределенных активных системах разработали Кернер и Осипов (см. гл. 11).

В заключение этой главы подчеркнем еще раз, что релаксационные (триггерные, ждущие и автоколебательные) базовые модели адекватны самой сути АВ-процессов в живых объектах на молекулярном и клеточном уровнях, будь то передача информации в нервных сетях, деление клеток или процессы формообразования. Релаксационные АВ-процессы защищены от внешних влияний порогом чувствительности, в зоне рефрактерности они так же мало подвержены случайным воздействиям. С другой стороны, большая скорость распространения в информационных каналах и большая способность к синхронизации релаксаторов обеспечивают преимущества

таких систем над гармоническими. Форма релаксационных колебаний, п. мало меняется при «уходах» параметров системы, если релаксационность обеспечивается с большим запасом