§ 3. Стационарные контрастные ДС типа складки

Наличие двух разных масштабов длин (так что позволяет провести исследование стационарных контрастных ДС последовательно в несколько этапов; этот метод исследования был развит в работах [4, 15, 16, 19].

На первом этапе исследуются резкие изменения ДС на масштабе Они описываются уравнением для автокаталитической переменной величина у на длине меняется мало и ее можно считать постоянной:

На втором этапе исследуются участки плавных изменений на масштабе За них ответственна демпфирующая переменная у, переменная х при этом находится в «равновесии» с у и определяется из условия Р(х, у)=0. Эта процедура аналогична используемой в теореме Тихонова. Отличие (и существенное) в том, что малым оказывается коэффициент при второй, а не первой производной. Можно показать, однако, что такая процедура оправдана при следующих условиях: а) решение устойчиво, б) редукция производится на большом но ограниченном интервале аргумента и в) решения, полученные на первом этапе, являются

выделенными в том смысле, что стремятся к постоянным значениям при

На третьем этапе оба решения сшиваются, и удовлетворяются граничные условия 2-го рода на границах отрезка. На заключительном этапе проверяется устойчивость полученного решения.

В общем случае процедура достаточно громоздка и мы Продемонстрируем ее на примере двух базовых моделей.

В модели типа складки уравнения стационарных ДС согласно (11.12) имеют вид

Напомним, что масштаб переменной в этой модели выбран так, что

На первом этапе решения рассмотрим область резких изменений х, в которой положим что эквивалентно пренебрежению вкладом интегрального члена в (11.13). Уравнения (11.18) инвариантны относительно замены , поэтому решения обладают соответствующей симметрией. Выберем точку симметрии решения в качестве начала координат Особое решение уравнения (11.18а), стремящееся к постоянной при имеет вид

где Решение (11.19) соответствует движению частицы единичной массы в потенциале при условии, что скорость частицы равна нулю в максимуме потенциала.

Зависимость соответствующая (11.19), имеет форму пичка шириной порядка

Важно отметить, что решение (11.19) имеет место и при обратном знаке параметра т. е. в области, где однородное по пространству состояние устойчиво. При этом знак линейного по х члена в (11.18а) меняется на обратный; тогда величина Ясно, что такие пички могут возникать лишь в результате жесткого возбуждения.

На втором этапе в области плавных изменений х, т. е. на расстояниях приравняем правую часть (11.18а) нулю (что эквивалентно пренебрежению в этой области членом и выразим переменную х через у.

При это дает

при имеем

В обоих случаях корни существуют при устойчивым является наименьший корень Зависимость при представлена на рис. 11.1 участком траектории, расположенном на изоклине Р(х, у)=0. Критическому значению укр соответствует максимум изоклины. Используя зависимость запишем (11.186) в виде

(член здесь опущен ввиду малости).

Последний член соответствует пику переменной который в масштабе плавных изменений представим -функцией с коэффициентом, определяемым из (11.19). Решение уравнения (11.22) должно удовлетворять условиям: и при где период ДС. Кроме того, величина не должна превышать значения укр, при котором исчезает корень Величина достигает максимума при этот максимум тем больше, чем больше Таким образом, это условие накладывает ограничение сверху на период

В краевой задаче, когда ДС ищется на конечном участке длины оказывается возможным существование нескольких ДС различного периода

Непрерывность производной на концах периода требует выполнения условия

Непрерывность функции и ее производной удовлетворяется благодаря тому, что использовано особое решение (11.19), переходящее при в Условие (11.24) связывает величину периода с величиной у, так как

Заметим, что выполнение (11.24) возможно не при любых значениях входящих в него параметров. Так, при условию (11.24) удовлетворить невозможно. Действительно, величина (см. рис. 11.1, а) отрицательна во всем интервале и по абсолютной величине больше или порядка При этом вклад от первого члена (11.24) может быть скомпенсирован

вторым только при ограниченных сверху значениях таких, что

Ситуация иная при величина в (11.21) мала (при малых и при этом равна а величина остается порядка единицы.

Рис. 11.1. Проекции пичковых ДС типа складки на плоскость х, у. Пикам переменной х соответствуют участки прямых, параллельных абсциссе; плавным участкам — отрезки на параболах — изоклинах (жирные линии):

Уравнение (11.22) имеет решение

При этом условие (11.24) удовлетворяется, поскольку величина много меньше единицы.

При больших величина следовательно, стремится к нулю, т. е. к устойчивому пространственно однородному состоянию. Это означает, что ДС в данном случае может состоять из одного уединенного «пика» функции на сколь угодно длинном отрезке Такая ДС подобна солитону, т. е. автолокализованному решению. Эта структура изображена на рис. 11.2. Ее образ на плоскости представлен на рис. 11.1, б жирной линией; пичку соответствует линия, параллельная оси абсцисс, а области плавных изменений — участок, лежащий на левой ветви изоклины.

Итак, в простейшей базовой модели «складки» существуют в различных областях параметров три следующих режима.

Рис. 11.2. ДС типа уединенного пика в модели складки (см. рис. 11.1, б).

а) Периодические стационарные ДС пичкового типа. Они возникают при и их период ограничен сверху: 6. В простейшей модели (11.18) этот режим, как будет показано ниже, неустойчив. Однако в других моделях складки режим пичковых периодических ДС оказывается устойчивым и доминирующим.

б) Уединенные «пички», т. е. структуры «солитонного» типа; они могут быть созданы путем жесткого возбуждения при

в) Режим, в котором все стационарные решения неустойчивы. Он имеет место при

Других режимов в модели типа, «складки» нет.

В более общем случае, именно в моделях, где изоклина вертикалей также имеет один (и не более) экстремум, но величины х и у могут сильно отличаться от стационарных значений, имеют место те же режимы. Эти системы мы также будем относить к моделям типа складки.

В качестве примеров таких моделей рассмотрим брюсселятор и модель Гирера — Майнхарта, которые играют важную роль в биофизике (см. ниже § 6).

Модель брюсселятора представляют обычно в форме

Здесь выбран масштаб в котором Фазовый портрет точечной системы (11.25) представлен на рис. 11.3; видно, что изоклина вертикалей 2 асимптотически приближается к оси

Рис. 11.3. Фазовый портрет модели «брюсселятор» при ; жирная линия — проекция ДС пичкового типа.

Стационарное состояние точечной системы имеет координаты оно является устойчивым фокусом при Бифуркация Тюринга в распределенной системе имеет место при

далее будем считать, что 1.

Систему (11.25) можно представить в форме (11.8), вводя переменные (отклонение от стационара). При этом роль малого параметра играет величина а среди

нелинейных членов присутствует большой квадратичный: При и модель (11.25) сводится к системе (11.12).

Рассмотрим сначала, следуя изложенной выше процедуре, стационарные ДС, возникающие в (11.25) при (там, где условие Тюринга (11.26) выполнено).

В области резких изменений переменной х положим и для стационарных ДС получим

Это уравнение приводимо к (11.18), особое решение его имеет форму (11.19); при этом параметры равны:

Отметим, что в данном случае (в отличие от модели амплитуда пика может быть достаточно велика, если величина у мала, т. е. близка к асимптоте.

В области плавных изменений по аналогии с (11.22) имеем

где устойчивый корень уравнения представленный на рис. 11.3 левой ветвью изоклины (жирная линия).

Условие исчезновения производных на концах периода по аналогии с (11.24) имеет вид

Здесь, как и в (11.24), величины и А порядка единицы. Одна ко в данном случае, в отличие от (11.24), это условие может быть выполнено даже при за счет большого параметрами, соответственно, малого значения у.

Образ ДС на плоскости х, у представлен на рис. 11.3 жирной линией. Прямая, параллельная оси абсцисс (и близкая к ней), соответствует пику функции участок на изоклине соответствует области плавных изменений. Максимальное значение периода, т. е. определяется при этом условием существования корня т. е. неравенством Величина имеет порядок Периодическая ДС в модели брюсселятора представлена на рис. 11.4. Величина достигает максимума в середине плавного участка; утак тем больше, чем длиннее период. При плавном увеличении периода (или при эквивалентном этому изменении других параметров) возникает бифуркация типа «деления периода»: при в середине плавного участка вырастает новый пик

функции На рис. 11.3 эта бифуркационная ситуация соответствует случаю, когда жирная линия достигает максимума изоклины.

Если условие Тюринга (11.26) не выполнено, однородное состояние устойчиво и в брюсселяторе возможны решения «солитонно-го» типа, которые могут возникать путем жесткого возбуждения.

Рис. 11.4. Диссипативная структура в модели «брюсселятор» при сплошная линия, пунктир.

Режим, в котором все стационарные решения неустойчивы, в модели брюсселятора отсутствует.

2. Модель, предложенная Гйрером и Майнхартом [2] (далее ГМ), может быть записана в обезразмеренной форме [20]:

где и показатели параметры модели. Фазовый портрет системы приведен на рис. 11.5, там же приведены проекции ДС на плоскость х, у (жирные линии).

Рис. 11.5. Фазовый портрет модели Гирера — Майнхарта и проекция ДС пичкового типа на плоскость х, у при

Изоклина Р(х, у)= имеет один экстремум, но, в отличие от случая брюсселятора, не имеет горизонтальной асимптоты.

В системе ГМ возможны все характерные для модели «складки» режимы. Так, если изоклины пересекаются левее точки минимума, однородное состояние устойчиво, но возможны жестко возбуждаемые решения «солитонного» типа.

Если изоклины пересекаются правее минимума и то однородное состояние неустойчиво по Тюрингу. При этом возможны как устойчивые периодические ДС пичкового типа, так и режим общей неустойчивости. Области параметров их реализации различны.

В области, где показатели удовлетворяют неравенству существуют периодические пичковые ДС. Свойства их те же, что и в модели брюсселятора. Периоды ограничены сверху: По порядку величины При в области пичка велики: образ такой ДС на плоскости х, у приведен на рис. 11.5.

В случае и достаточно больших значений все стационарные режимы оказываются неустойчивыми.

Перечисленными свойствами обладают и другие модели типа складки.

Из изложенного ясно, что область существования периодической ДС пичкового типа с периодом (и, наоборот, область отсутствия режима общей неустойчивости) определяется параметрами, влияющими на показатели степеней переменных х и у в функциях Р(х,у) и

Приведем общий для модели «складки» критерий существования периодических ДС пичкового типа с периодом (обоснование его приведено в работе [21]):

Здесь наибольший и наименьший корни уравнения Р(х, у)=0 (см. рис. 11.5) и значение горизонтальной асимптоты (если таковая имеется) изоклины Р(х,у)=0. Если это условие не соблюдается, то при устойчивых стационарных решений модель не содержит.