§ 2. Синхронизация в квазигармонической системе

Рассмотрим сначала случай «почти» гармонической системы без учета флуктуаций.

Система, подобная (10.2), исследовалась нами для случая и малых связей и методом Хохлова При этом из уравнений (10.2) легко исключить переменную Поэтому решение будем искать в виде

где медленно меняющиеся функции времени, неизвестная пока частота синхронных колебаний. Для с помощью обычной процедуры получается следующая система укороченных уравнений:

Здесь разность фаз между соседними генераторами (расстройка), Заметим, что важной особенностью почти гармонических систем при малых связях является равноправность коэффициентов их симметричная запись в уравнениях

В случае синхронного режима разности стационарных фаз или

Учитывая условие (10.8), можно разрешить уравнения (10.6) относительно

В случае слабых связей к уравнениям (10.5)-(10.7) можно применить метод поэтапного укорочения. Для этого представим значения в виде

где амплитуда свободных автоколебаний генератора при Подставляя выражения (10.10) в (10.9) и пренебрегая членами порядка мы получим для стационарных разностей фаз точно такую же формулу, как (10.9), в которой заменено на Поправки а, к амплитудам генераторов легко найти, если подставить (10.10) в (10.5) и собрать члены порядка (при условии, что

Наибольший интерес представляет для нас исследование условий синхронизации.

Частоту синхронных колебаний найдем, подставляя значения в уравнение (10.7):

Если амплитуды всех генераторов одинаковы, то

Из формул (10.12), (10.13) следует, что при близких по величине амплитудах колебаний синхронная частота лежит между верхней и нижней парциальными частотами генераторов цепочки. Обозначим

Чтобы определить в общем случае полосу синхронизации в цепочке автогенераторов, необходимо воспользоваться системами уравнений как для амплитуд, так и для разностей фаз (10.5) и (10.6). Для этого линеаризуем уравнения вблизи стационарных решений (10.9) и (10.10). В тех случаях, когда амплитуды отдельных

генераторов мало отличаются друг от друга и величины коэффициентов связи малы, можно отдельно исследовать устойчивость уравнений для разностей фаз (10.6), считая, что Это исследование можно провести с помощью следующей теоремы.

Теорема. Необходимым и достаточным условием устойчивости стационарных решений системы уравнений для разностей фаз (10.6) является выполнение следующих неравенств:

Неравенства (10.15) означают, что устойчивыми будут решения, для которых

Поэтому границы области устойчивости (или полоса синхронизации могут быть определены из следующего трансцендентного уравнения:

Величины можно брать из выражения (10.9). Для иллюстрации общих результатов рассмотрим конкретные примеры.

Расстройка вводится лишь на одном генераторе. Это означает, что все за исключением (в модели связанных через диффузию химических реакторов, в каждом из которых протекает автоколебательная реакция, один реактор несколько отличается от других). Амплитуды при всех Синхронная частота определяется по формуле (10.13):

т. е. близка к частоте при больших Поэтому величины при при Из формулы (10.9) следует, что

Пусть для определенности Так как то Поэтому нужно воспользоваться формулой (10.18), откуда получим при

Полоса синхронизации будет равна минимальному из всех значений При получим

При изменении от 2 до величина изменяется в пределах от а до

Пусть теперь Нечетно и рассматриваемый генератор находится посередине цепочки. Максимальные скачки фазы будут между этим генератором и его соседями справа и слева. Воспользовавшись формулами (10.18) и (10.19) соответственно для синусов разностей фаз между левым и центральным генератором и между правым и центральным генератором, получим в обоих случаях:

При изменении от 3 до полоса синхронизации изменяется от до

Таким образом, величина полосы синхронизации для генератора, расположенного посередине цепочки, всегда больше полосы синхронизации для генератора, расположенного на краю цепочки. Это утверждение так же доказывается для любого «внутреннего» генератора цепочки.

Рис. 10.1. Границы полосы синхронизации в цепочке из восьми почти гармоиических генераторов для случая

В качестве иллюстрации приведем рис. 10.1, на котором обозначены границы полосы синхронизации в цепочке из восьми генераторов в зависимости от величины коэффициента связи Цифрами над соответствующими прямыми обозначены номера генераторов, на которых вводятся одинаковые по отношению к остальным генераторам расстройки. Из этого рисунка видно, что наибольшая полоса синхронизации получается в случае, когда расстройка вводится на генераторе № 5, расположенном в середине цепочки. Наименьшая полоса будет в случае, когда расстройка введена на четырех генераторах, расположенных подряд, — №№ 1, 2, 3, 4. Во всех остальных возможных случаях величина полосы синхронизации будет принимать промежуточные значения между двумя крайними.

На рис. 10.2 представлены зависимости стационарных разностей фаз от расстройки внутри полосы синхронизации, когда расстройка вводится на первом генераторе. Естественно, что наибольшая разность фаз наблюдается между первым (расстроенным)

генератором и вторым. Величина 9, уменьшается с увеличением номера

Конечно, проведенные расчеты далеки от многих наблюдаемых на практике случаев. Во-первых, до сих пор мы полагали генераторы почти синусоидальными и с малыми связями, и, во-вторых, амплитуды всех генераторов считали близкими. -третьих, диффузионные связи считались малыми, а потому мы не отделяли влияния связи через диффузию вещества х от влияния связи через диффузию вещества у.

Рис. 10.2. Стационарные разности фаз 9; в цепочке из восьми генераторов при Цифрами 1—7 обозначен номер

Если величины становятся сравнимыми с этого делать нельзя — необходимо учитывать отдельно величины которые становятся неравноправными. В работе [2] показано, что в радиотехнике связь а (при эквивалентна введению в контуры общего для соседних связанных генераторов сопротивления. (Такая связь называется гальванической.) Она не вводит асимметрии в расположение границ области синхронизации. Именно такому случаю соответствует рис. 10.2. Если же то помимо гальванической связи между генераторами появляется реактивная связь, которая при больших вносит асимметрию в расположение границ области синхронизации при положительных и отрицательных расстройках. Этот случай разобран нами в гл.

Прежде чем обращаться к следствиям из теории синхронизации, важным для живых объектов, остановимся на другой предельной форме базовых моделей (10.1) и (10.2), а именно, когда При этом удается провести аналитическое рассмотрение синхронизации кинетических релаксаторов в пространстве. Заметим, что промежуточный случай, когда приходится обычно изучать с помощью машинного эксперимента.