Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 2. Стационарные однородные решения и их устойчивостьАнализ математической модели типа (8.1) обычно начинается с определения ее стационарных и однородных в пространстве решений и исследования их устойчивости. Если система (8.1) однородна, то диффузионные члены равны нулю и значения ее переменных равны координатам особой точки соответствующей точечной системы (8.3), которые обозначим
где
Уравнения, записанные для фазового пространства, начало координат в котором помещено в В качестве первого шага в исследовании устойчивости стационарного состояния рассматриваются малые возмущения этого состояния, т. е. изучаются решения линеаризованных приведенных систем. Для простоты будем считать, что система (8.5) имеет всего одну изолированную особую точку с координатами
Линеаризованная приведенная система для модели (8.1) при
Здесь учтены равенства (8.5) и откинуты все малые члены порядка
где
Если исследуемое однородное решение Остановимся подробнее на анализе устойчивости однородного состояния системы второго порядка:
В настоящее время известно большое число конкретных моделей, исследование которых сводится к поискам различных решений уравнений (8.10). Многие из них рассматриваются в настоящей монографии. Дисперсионное уравнение (8.9) для системы второго порядка может быть представлено в явном виде:
где
Как будет показано ниже, выражение (8.11) помогает при классификации АВ-систем. Так, зная фазовый портрет точечной системы (8.10), параметры
Рис. 8.1. Первый тип зависимости
Рис. 8.2. Второй тип зависимости На рис. 8.1 и 8.2 приведены графики зависимости 1. Особенности поведения функции
Интервал стягивается в точку при -
Равенство (8.13) представляет собой тюринговскую бифуркацию. Из
Из неравенств (8.146) и ( диагональный член возникает в автокаталитических реакциях. Поэтому х называют автокаталитической переменной, переменную у (для которой Неравенство (8.146) можно записать в форме
Здесь учтено, что константы 2. Неустойчивость однородного состояния типа седла может возникнуть и при другом виде зависимости 3. В качестве примера возникновения режима нарастающих колебаний вблизи однородного состояния рассмотрим случай известной в радиофизике автоколебательной системы Ван-дер-Поля. С учетом диффузии веществ х и у такая система имеет вид
Вблизи бифуркации автоколебательного типа
где
Отметим, что модель Ван-дер-Поля можно рассматривать как частный случай системы (8.10), в которой нелинейный член в достаточно общем случае. Модель (8.15а) пригодна в случае
Отсюда следует, что
Если частота
При
дает критическую длину волны Интересно отметить, что если Таблица 8.1 (см. скан) В табл. 8.1 приведены критические значения для известных автоколебательных химических реакций, имеющих существенно различные периоды. Величина соображений, что система уже далека от точки бифуркации и вместе с тем еще достаточно добротна. (Химические автоколебания обычно наблюдаются в системах с небольшой добротностью. Область параметров, в которой происходят почти синусоидальные колебания концентрации, хотя и существует всегда, но достаточно узка.) Критические длины волн Из рассмотрения таблицы можно сделать следующие выводы. 1. Автоколебания в темновых реакциях фотосинтеза и гликолиза могут возникнуть лишь во всем объеме живой клетки, так как X заведомо много больше размера клетки. Более коротких волн (или более высоких тонов колебаний) в клетках, по-видимому, не существует. 2. Реакции фотосинтеза могут оказаться синхронными для целых групп клеток в зеленом листе. 3. Могут возбудиться автоколебания с длинами волн, много меньшими, чем характерные размеры реактора. 4. Небольшого перемешивания достаточно, чтобы в реакторах длины 10 см существовали лишь колебания, синхронные по всему объему. 5. В двумерных плоских реакторах, используемых Жаботинским и его сотрудниками для наблюдения пространственных эффектов, в реакциях типа III, по всей видимости, достигается синхронность колебаний по всей толщине слоя реакционного раствора
|
1 |
Оглавление
|