§ 2. Стационарные однородные решения и их устойчивость

Анализ математической модели типа (8.1) обычно начинается с определения ее стационарных и однородных в пространстве решений и исследования их устойчивости. Если система (8.1) однородна, то диффузионные члены равны нулю и значения ее переменных равны координатам особой точки соответствующей точечной системы (8.3), которые обозначим

где номер особой точки. При этом координаты находятся из алгебраических уравнений

Уравнения, записанные для фазового пространства, начало координат в котором помещено в особую точку, будем называть приведенными. Легко видеть, что однородное состояние действительно является тривиальным решением краевой задачи для системы (8.1) как с граничными условиями (8.2), так и с условиями первого рода или периодическими условиями (случай кольцевого реактора).

В качестве первого шага в исследовании устойчивости стационарного состояния рассматриваются малые возмущения этого состояния, т. е. изучаются решения линеаризованных приведенных систем. Для простоты будем считать, что система (8.5) имеет всего одну

изолированную особую точку с координатами Малое возмущение относительно однородного решения запишем в виде

Линеаризованная приведенная система для модели (8.1) при будет иметь вид

Здесь учтены равенства (8.5) и откинуты все малые члены порядка и выше, а коэффициенты Любое малое возмущение можно представить в виде суперпозиции волн

где волновое число, определяющее длину волны Подставляя (8.8) в систему (8.7) и используя условие существования ее нетривиальных решений, получим дисперсионное уравнение, связывающее комплексные частоты длины волн и коэффициенты системы (8.7) (см.

Если исследуемое однородное решение неустойчиво, то имеется хотя бы одно значение комплексной частоты Неустойчивости в активных кинетических системах подразделяются на два вида. В случае, когда дисперсионное уравнение (8.9) для волны с длиной имеет четное число корней неустойчивость называют колебательной. Она приводит к появлению синхронных автоколебаний и других типов АВ-процессов. Нечетному числу таких корней соответствует неустойчивость Тюринга приводящая к образованию стационарных диссипативных структур (ДС) (см. гл. 11).

Остановимся подробнее на анализе устойчивости однородного состояния системы второго порядка:

В настоящее время известно большое число конкретных моделей, исследование которых сводится к поискам различных решений уравнений (8.10). Многие из них рассматриваются в настоящей монографии. Дисперсионное уравнение (8.9) для системы второго порядка может быть представлено в явном виде:

где

Как будет показано ниже, выражение (8.11) помогает при классификации АВ-систем. Так, зная фазовый портрет точечной системы (8.10), параметры для каждой из особых точек фазовой плоскости и коэффициенты диффузии можно сказать, к какому классу относится данная модель второго порядка.

Рис. 8.1. Первый тип зависимости

Рис. 8.2. Второй тип зависимости

На рис. 8.1 и 8.2 приведены графики зависимости представляющие наибольший интерес. Рассмотрим различные случаи поведения систем с помощью этих графиков.

1. Особенности поведения функции (рис. 8.1) состоят в том, что однородное состояние линеаризованной системы (8.10) оказывается неустойчивым по отношению к возмущениям с волновыми числами в ограниченном интервале При этом система устойчива ко всем остальным возмущениям, в частности с При бифуркационном значении параметров этот интервал стягивается в точку. Само же однородное состояние является седлом. Как мы увидим в дальнейшем, в таких системах возможно возникновение диссипативных структур. Границы интервала определяются из условия или, что то же, (см. (8.11)). Имеем

Интервал стягивается в точку при - т. е. при условии

Равенство (8.13) представляет собой тюринговскую бифуркацию. Из (8.13) следуют условия мягкого возникновения

Из неравенств (8.146) и ( следует, что а из (8.14а) Это означает, что один из диагональных членов положителен, а другой отрицателен. Для определенности будем считать, что В химической кинетике положительный

диагональный член возникает в автокаталитических реакциях. Поэтому х называют автокаталитической переменной, переменную у (для которой можно назвать «демпфирующей». Отметим, что используются также термины «активатор» для х и «ингибитор» для у. Однако во избежание недоразумений этими терминами мы пользоваться не будем.

Неравенство (8.146) можно записать в форме

Здесь учтено, что константы по размерности и по смыслу представляют собой обратные характерные времена развития переменных Если то в моделях, описывающих ДС, «демпфер» должен диффундировать быстрее, чем «автокатализатор».

2. Неустойчивость однородного состояния типа седла может возникнуть и при другом виде зависимости (область II на рис. 8.2). Заметим, что в этом случае область I соответствует неустойчивому узлу. Остальные конфигурации зависимостей получаются при сдвигах кривых рис. 8.1 и 8.2 параллельно осям абсцисс и ординат.

3. В качестве примера возникновения режима нарастающих колебаний вблизи однородного состояния рассмотрим случай известной в радиофизике автоколебательной системы Ван-дер-Поля. С учетом диффузии веществ х и у такая система имеет вид

Вблизи бифуркации автоколебательного типа остальные параметры порядка единицы. Систему (8.15) можно представить в форме одного уравнения второго порядка:

где

Отметим, что модель Ван-дер-Поля можно рассматривать как частный случай системы (8.10), в которой нелинейный член - результат разложения функции по отклонениям от стационарного состояния квадратичные члены отсутствуют, а коэффициенты равны: Однако вблизи автоколебательной бифуркации любая система (даже высокого порядка) может быть сведена к двумерной с той же линейной частью, что и в (8.15) (см. § 4 гл. 1). Отсутствие квадратичных членов (или их малость) также характерно для большого класса автоколебательных систем. Поэтому модель (8.15) можно рассматривать как базовую при любых значениях а результаты, полученные на основе (8.15), можно считать справедливыми

в достаточно общем случае. Модель (8.15а) пригодна в случае Используя (8.11), получаем

Отсюда следует, что

Если частота достаточно велика, что справедливо для добротных колебательных систем то подкоренное выражение всегда отрицательно. Значение корня в этом случае определяет мнимую часть а следовательно, частоту колебаний вблизи положения равновесия. Особая точка будет неустойчивым фокусом, если

При имеем синхронные нарастающие колебания по всей длине реактора с частотой, соответствующей точечной системе. При конечных величинах X имеется затухание за счет диффузии. Величина

дает критическую длину волны Все возмущения с длинами волн будут затухать.

Интересно отметить, что если то и частота не зависит от диффузии веществ.

Таблица 8.1 (см. скан)

В табл. 8.1 приведены критические значения для известных автоколебательных химических реакций, имеющих существенно различные периоды. Величина выбрана нами из тех

соображений, что система уже далека от точки бифуркации и вместе с тем еще достаточно добротна. (Химические автоколебания обычно наблюдаются в системах с небольшой добротностью. Область параметров, в которой происходят почти синусоидальные колебания концентрации, хотя и существует всегда, но достаточно узка.) Критические длины волн вычислены для характерных коэффициентов молекулярной диффузии органических молекул В случае турбулентного перемешивания или конвекции в реакторе коэффициент диффузии может превышать на много порядков. Так как типы II и III автоколебаний наблюдаются in vitro (см. табл. 8.1), для них приводятся значения для характерных значений как так и

Из рассмотрения таблицы можно сделать следующие выводы. 1. Автоколебания в темновых реакциях фотосинтеза и гликолиза могут возникнуть лишь во всем объеме живой клетки, так как X заведомо много больше размера клетки. Более коротких волн (или более высоких тонов колебаний) в клетках, по-видимому, не существует. 2. Реакции фотосинтеза могут оказаться синхронными для целых групп клеток в зеленом листе. 3. Могут возбудиться автоколебания с длинами волн, много меньшими, чем характерные размеры реактора. 4. Небольшого перемешивания достаточно, чтобы в реакторах длины 10 см существовали лишь колебания, синхронные по всему объему. 5. В двумерных плоских реакторах, используемых Жаботинским и его сотрудниками для наблюдения пространственных эффектов, в реакциях типа III, по всей видимости, достигается синхронность колебаний по всей толщине слоя реакционного раствора Вместе с тем без принудительного перемешивания автоколебания могут независимо возникать в разных точках плоскости реактора (чашки Петри), имея в зависимости от случайных начальных условий различные фазы. Конечно, такая картина наблюдается лишь в начале процесса. В последующем в таких реакторах развиваются сложные автоволновые процессы, о которых говорится ниже.