Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 4. Редукция систем и теория катастрофВ предыдущем параграфе предполагалось, что малый параметр (отношение характерных времен) существует априори. Действительно, во многих биофизических задачах имеется четкая временная иерархия, что, по нашему убеждению, не случайно, а определяется спецификой биологических систем. Однако даже в редуцированной (вырожденной) системе, где все времена имеют одинаковый порядок, можно выделить такую область параметров и переменных, в которой есть возможность дополнительно понизить порядок системы. Это имеет место вблизи точки бифуркации, когда одно из характеристических чисел Можно сформулировать две «теоремы сведения»: первую — для бифуркаций седлового типа и вторую — для бифуркаций фокусного типа. Подчеркнем, что теоремы сведения носят локальный характер, они справедливы в ограниченной области фазового пространства, где отклонения переменных от стационарных значений достаточно малы, в отличие от теоремы Тихонова, имеющей глобальный характер. Начнем с седло вой бифуркации. I. Пусть система вещественные части остальных характеристических чисел остаются отрицательными Мы не предполагаем здесь, что особая точка изолирована, более того, в общем случае при изменении параметров в
Здесь
Система (1.166) является присоединенной с устойчивой особой точкой
Подставим
где под Теперь, чтобы исследовать характер бифуркаций в полной системе (1.16), нужно изучить, как меняется тип особой точки в зависимости от параметров Выясним, какие классы бифуркаций возможны в данном случае, а) Вблизи бифуркационных значений параметров уравнение
имеет один вещественный корень
Рис. 1.3. Бифуркация в уравнении (1.18), соответствующая катастрофе типа «сборка». При б) Пусть теперь реальные части комплексных корней и вещественный корень
Проследим бифуркацию при изменении знака состояний и система движется к третьему устойчивому состоянию. Последнее, однако, расположено вдали от области
Рис. 1.4. Бифуркация в уравнении (1.18), соответствующая катастрофе типа «складка». Наибольшей областью применимости теоремы сведения при бифуркациях седлового типа обладают системы, которые приближенно описываются уравнением вида
Выше предполагалось, что вдали от бифуркации характерные времена изменения II. Рассмотрим теперь теорему сведения для бифуркации фокусного типа. Пусть с помощью линейной замены переменных система (1.1) приведена к виду
При этом В отличие от предыдущего, в данном случае стационарное состояние является изолированным независимо от наличия или отсутствия квадратичных членов Рассмотренные бифуркации не сводимы друг к другу. Вблизи других, более сложных бифуркаций Как уже упоминалось, теория бифуркаций близка в идейном отношении к теории «катастроф». Сам термин, а также ряд основных понятий этого направления были предложены Рене Томом. Теория катастроф имеет как методологический, так и чисто практический аспекты и ей посвящена богатая литература (см. [12] и библиографию там). Наша цель — обсудить здесь простейшие катастрофы в связи с математическими моделями, которыми мы занимаемся. Пусть модель имеет лишь одну переменную х:
где 1. Особая точка изолирована, не вырождена и устойчива. В этом случае минимальная модель имеет вид
Здесь и ниже 2. Слияние двух особых точек. Тогда минимальная модель
Форма ситуация именуется катастрофой типа «складки», именно она рассматривалась в п. 1,а предыдущего раздела. Поясним теперь, каким образом можно пользоваться образами теории катастроф при изучении математических моделей. Сделаем это на примере модели второго порядка, содержащей переменные
где характерное время изменения х принято за единицу. Фазовый портрет системы представлен на рис. 1.5. Изоклина
Рис. 1.5. «Складка» на плоскости Подчеркнем, что форма функции В идейном отношении оно соответствует понятию «грубости» модели, введенному Андроновым еще задолго до появления «теории катастроф». Значение его заключается в том, что качественные выводы, полученные на основе грубой (или структурно устойчивой) модели, являются общими и остаются справедливыми, даже если параметры модели определены не точно или варьируют от случая к случаю. В биологии это свойство особенно важно. Катастрофы типа складки появляются в моделях, описывающих релаксационные автоколебания, так называемые «ждущие» режимы и триггерные системы (см. рис. 9.3). В распределенных системах модели типа складки используются для описания автоволновых процессов и диссипативных структур. 3. Слияние трех особых точек. Тогда минимальная модель имеет вид
Здесь
Рис. 1.6. «Сборка» в пространстве ( 4. Слияние четырех и пяти особых точек; соответствующие катастрофы называются «ласточкин хвост» и «бабочка». Фазовые пространства при этом четырех- и пятимерные и геометрические представления этих катастроф не столь наглядны [11]. Подчеркнем существенное различие катастроф типа складки и сборки. В случае «складки» форма (1.23) не описывает поведения системы при больших временах. Изображающая точка уходит из рассматриваемой локальной области фазового пространства (где справедлива форма В случае «сборки» форма (1.25) описывает поведение системы и при больших временах, поскольку изображающая точка остается вблизи прежнего стационарного состояния (на расстоянии В заключение этого параграфа вспомним снова о «странных аттракторах» в связи с теорией бифуркаций. Прежде всего, странный аттрактор может возникнуть в случае бифуркации типа сборки, при этом «перемешивание» траекторий осуществляется за счет срывов изображающей точки с краев сборки. Другой путь возникновения странного аттрактора — это следующие друг за другом бифуркации удвоения периода колебаний влеавтономной автоколебательной системе. Последовательность бифуркационных значений некоторого параметра для самых разных систем отношение последовательных разностей бифуркационных параметров стремится к универсальной константе Фейгенбаума Отметим, что в обоих случаях размерность странного аттрактора меньше размерности всего фазового пространства (в случае системы третьего порядка — это некоторая поверхность или даже часть ее). Можно привести пример странного аттрактора, занимающего все фазовое пространство. Это система типа «биллиарда Синая» (см. рис. 12.2), в которой рассматривается поведение шарика на участке плоскости, ограниченном отражающими выпуклыми стенками. Система консервативна и фазовое пространство ее четырехмерно (две координаты и два импульса). Шарик совершает случайное движение по плоскости, отражаясь от криволинейной стенки, и изменяет свои координаты и импульсы так, что фазовые траектории заполняют равномерно все фазовое пространство (происходит полное перемешивание траекторий). Бифуркация в этой системе, приводящая к появлению странного аттрактора, возникает в результате изменения параметра — кривизны стенки. Использование модели биллиарда Синая для обоснования сложных проблем теоретической биофизики мы подробно обсудим в главе 12.
|
1 |
Оглавление
|