§ 4. Редукция систем и теория катастроф

В предыдущем параграфе предполагалось, что малый параметр (отношение характерных времен) существует априори. Действительно, во многих биофизических задачах имеется четкая временная иерархия, что, по нашему убеждению, не случайно, а определяется спецификой биологических систем. Однако даже в редуцированной (вырожденной) системе, где все времена имеют одинаковый порядок, можно выделить такую область параметров и переменных, в которой есть возможность дополнительно понизить порядок системы.

Это имеет место вблизи точки бифуркации, когда одно из характеристических чисел (или его вещественная часть) обращается в нуль и меняет знак. Одновременно меняется топология фазового портрета, в частности, число особых решений.

Можно сформулировать две «теоремы сведения»: первую — для бифуркаций седлового типа и вторую — для бифуркаций фокусного типа. Подчеркнем, что теоремы сведения носят локальный характер, они справедливы в ограниченной области фазового пространства, где отклонения переменных от стационарных значений достаточно малы, в отличие от теоремы Тихонова, имеющей глобальный характер. Начнем с седло вой бифуркации.

I. Пусть система порядка (1.1) имеет устойчивую особую точку (все характеристические числа имеют отрицательные вещественные части). Пусть при изменении параметров одно из характеристических чисел будучи чисто вещественным, проходит через нуль и становится положительным, тогда как

вещественные части остальных характеристических чисел остаются отрицательными и большими

Мы не предполагаем здесь, что особая точка изолирована, более того, в общем случае при изменении параметров в -окрестности особой точки обязательно имеются (или появляются) другие особые точки. Рассматриваемая особая точка при этом может исчезнуть. В этой связи разлагать правые части (1.1) по отклонениям переменных от особой точки не корректно. Можно, однако, разложить вблизи какой-либо другой точки, находящейся в окрестности особой. Учитывая это, систему (1.1) можно представить в виде

Здесь отклонения переменных от их стационарных значений: отклонение от некоторого значения, отстоящего от стационарного на величину порядка а — параметр, связанный с (он имеет порядок Фигурными скобками обозначены формы с алгебраическими членами типа: определяется аналогично. Разделим все уравнения (1.15) на и введем новое время

Система (1.166) является присоединенной с устойчивой особой точкой Поэтому, согласно теореме Тихонова, можно положить и

Подставим в уравнение (1.16а) и перейдем снова к времени При этом получим

где под подразумеваются члены малости и выше.

Теперь, чтобы исследовать характер бифуркаций в полной системе (1.16), нужно изучить, как меняется тип особой точки в зависимости от параметров бис всего лишь одного уравнения (1.18). В этом и состоит теорема сведения.

Выясним, какие классы бифуркаций возможны в данном случае, а) Вблизи бифуркационных значений параметров уравнение

имеет один вещественный корень и два комплексных корня с малыми мнимыми частями и одинаковыми вещественными частями, близкими к . В пределе такая ситуация описывается полиномом (1,19) при . В первом важном случае при имеется одно устойчивое состояние равновесия

Рис. 1.3. Бифуркация в уравнении (1.18), соответствующая катастрофе типа «сборка».

При это состояние становится неустойчивым, но рядом с ним появляются два устойчивых: Это значит, что система (1.18) становится триггерной и описывает поведение полной системы (1.16) в области изменения переменных при неограниченных временах Эволюция системы при переходе через нуль совершается плавно. Такой процесс можно назвать мягким переходом в новое состояние. В другом случае при имеются три близких стационарных состояния, из них среднее устойчиво. При боковые состояния исчезают, а среднее становится неустойчивым; при этом область применимости редуцированной системы (1.18) узка — она ограничена значениями и временами порядка

б) Пусть теперь реальные части комплексных корней и вещественный корень существенно различаются. Тогда в результате бифуркации в системе (1.16) возникают или исчезают два близких стационарных состояния расположенных далеко от третьего . В этом случае в (1.19) можно пренебречь членом Тогда положения точек 1 и 2 приближенно определяются корнями квадратного уравнения

Проследим бифуркацию при изменении знака Если то при имеется одно устойчивое состояние и одно неустойчивое вблизи него на расстоянии (рис. 1.4). В интервале оба стационарных состояния исчезают и появляются вновь при В последнем случае левое состояние устойчиво, а правое неустойчиво. При эволюции параметров происходит «аннигиляция» двух стационарных

состояний и система движется к третьему устойчивому состоянию. Последнее, однако, расположено вдали от области и этот процесс уже не описывается одним уравнением Таким образом, происходит «жесткое» возбуждение нового режима. Область применимости теоремы сведения при этом очень узка — она ограничена значениями временами

Рис. 1.4. Бифуркация в уравнении (1.18), соответствующая катастрофе типа «складка».

Наибольшей областью применимости теоремы сведения при бифуркациях седлового типа обладают системы, которые приближенно описываются уравнением вида

Выше предполагалось, что вдали от бифуркации характерные времена изменения одного порядка. В частном, но важном случае переменная может оказаться «быстрой», т. е. ее характерное время Тогда изложенное выше справедливо в области и теряет силу при Однако утверждение о том, что задача сводится к одномерной, остается верным и в последнем случае, т. е. в области фазового пространства, где точка движется по координате а остальные рассматриваются как параметры.

II. Рассмотрим теперь теорему сведения для бифуркации фокусного типа. Пусть с помощью линейной замены переменных система (1.1) приведена к виду

При этом Тогда характеристические корни линеаризованной системы (1.20) представляются в виде Пользуясь малостью величин можно показать, что и в этом случае подсистема (1.206) является присоединенной, а вся система (1.20) редуцируется до двух уравнений, содержащих только переменные Доказательство этого утверждения принадлежит Шошитайшвили [5, 12].

В отличие от предыдущего, в данном случае стационарное состояние является изолированным независимо от наличия или

отсутствия квадратичных членов Область применимости двумерного приближения зависит от нелинейных членов. Если то в системе возникает мягкое возбуждение. При наличии предельного цикла (как это было в примере § 3) область значений в которой справедлива теорема сведения, ограничена величинами порядка амплитуды предельного цикла и не ограничена по времени. В противном случае она ограничена условиями и

Рассмотренные бифуркации не сводимы друг к другу. Вблизи других, более сложных бифуркаций -мерная модель может быть заменена эквивалентной трех-, четырех- и т. д. -мерной в зависимости от сложности бифуркаций.

Как уже упоминалось, теория бифуркаций близка в идейном отношении к теории «катастроф». Сам термин, а также ряд основных понятий этого направления были предложены Рене Томом. Теория катастроф имеет как методологический, так и чисто практический аспекты и ей посвящена богатая литература (см. [12] и библиографию там). Наша цель — обсудить здесь простейшие катастрофы в связи с математическими моделями, которыми мы занимаемся.

Пусть модель имеет лишь одну переменную х:

где Величину называют потенциалом, поскольку (1.21) описывает движение частицы в потенциальном поле в сильно вязкой среде. Чтобы изучить движение системы вблизи локальных экстремумов функцию разлагают в ряд около стационарных состояний и ограничиваются несколькими младшими членами разложения. Минимальное число членов и число параметров которые нужно учитывать, определяются степенью вырождения стационарного состояния. Они связаны простым соотношением: число называют коразмерностью катастрофы. Рассмотрим простейшие случаи.

1. Особая точка изолирована, не вырождена и устойчива. В этом случае минимальная модель имеет вид

Здесь и ниже это отклонение от стационарного состояния. Форма является в этом случае общей и к ней локально может быть приведена любая одномерная модель путем выбора масштабов и сдвига

2. Слияние двух особых точек. Тогда минимальная модель

Форма в (1.23) также является общей и к ней приводится любой квадратичный полином. При имеются два состояния, одно из которых устойчиво, а другое неустойчиво. При они сливаются, и при оба исчезают. При изменении параметра в обратном направлений, напротив, появляются две особые точки. Эта

ситуация именуется катастрофой типа «складки», именно она рассматривалась в п. 1,а предыдущего раздела.

Поясним теперь, каким образом можно пользоваться образами теории катастроф при изучении математических моделей. Сделаем это на примере модели второго порядка, содержащей переменные Пусть х является быстрой переменной, но исключить ее нельзя, так как быстрый процесс не везде устойчив. «Складка» соответствует модели:

где характерное время изменения х принято за единицу. Фазовый портрет системы представлен на рис. 1.5. Изоклина имеет устойчивую ветвь — аттрактор в форме складки (откуда ясно происхождение этого термина). При медленном изменении в соответствии с (1.24а) при достижении значения происходит срыв изображающей точки и перескок на другой устойчивый аттрактор («катастрофа»), этот аттрактор изображен на рис. 1.5 условно (пунктиром), поскольку он не описывается квадратичной формой (1.246) и определяется глобальными свойствами модели. Заметим, однако, что в «корректных» моделях, адекватных реальным объектам, он всегда присутствует.

Рис. 1.5. «Складка» на плоскости

Подчеркнем, что форма функции (и потенциала V) является общей или универсально деформируемой. Она не изменяется при малых деформациях. Иными словами, характер катастрофы остается структурно устойчивым, так как сливаются две (и только две) особые точки. Понятие структурной устойчивости в теории катастроф имеет важное методологическое значение.

В идейном отношении оно соответствует понятию «грубости» модели, введенному Андроновым еще задолго до появления «теории катастроф». Значение его заключается в том, что качественные выводы, полученные на основе грубой (или структурно устойчивой) модели, являются общими и остаются справедливыми, даже если параметры модели определены не точно или варьируют от случая к случаю. В биологии это свойство особенно важно.

Катастрофы типа складки появляются в моделях, описывающих релаксационные автоколебания, так называемые «ждущие» режимы и триггерные системы (см. рис. 9.3). В распределенных системах модели типа складки используются для описания автоволновых процессов и диссипативных структур.

3. Слияние трех особых точек. Тогда минимальная модель имеет вид

Здесь кубический полином, зависящий от двух параметров — Соответствующая математическая модель содержит три переменные. Изоклинная поверхность (аттрактор) представлена на рис. 1.6. Видно, что на ней имеется сборка, вершина которой соответствует слиянию трех особых точек, что имеет место при На ребрах сборки имеют место катастрофы типа складки. Таким образом, в трехмерном фазовом пространстве складке соответствует более мощное множество, нежели сборке. Модели, содержащие катастрофу типа сборки, используются для описания релаксационных автоколебаний малой амплитуды, колебательных режимов со смещением «средней точки» и диссипативных структур ступенчатого типа.

Рис. 1.6. «Сборка» в пространстве (

4. Слияние четырех и пяти особых точек; соответствующие катастрофы называются «ласточкин хвост» и «бабочка». Фазовые пространства при этом четырех- и пятимерные и геометрические представления этих катастроф не столь наглядны [11]. Подчеркнем существенное различие катастроф типа складки и сборки. В случае «складки» форма (1.23) не описывает поведения системы при больших временах. Изображающая точка уходит из рассматриваемой локальной области фазового пространства (где справедлива форма иными словами, катастрофа типа складки не локализуема. То же относится и к катастрофе «ласточкин хвост» с четной коразмерностью.

В случае «сборки» форма (1.25) описывает поведение системы и при больших временах, поскольку изображающая точка остается вблизи прежнего стационарного состояния (на расстоянии Можно сказать, что катастрофа типа сборки локализуема; это относится и к катастрофе «бабочка» с нечетной коразмерностью.

В заключение этого параграфа вспомним снова о «странных аттракторах» в связи с теорией бифуркаций.

Прежде всего, странный аттрактор может возникнуть в случае бифуркации типа сборки, при этом «перемешивание» траекторий осуществляется за счет срывов изображающей точки с краев сборки. Другой путь возникновения странного аттрактора — это следующие друг за другом бифуркации удвоения периода колебаний влеавтономной автоколебательной системе. Последовательность бифуркационных значений некоторого параметра сходится; при этом

для самых разных систем отношение последовательных разностей бифуркационных параметров стремится к универсальной константе Фейгенбаума

Отметим, что в обоих случаях размерность странного аттрактора меньше размерности всего фазового пространства (в случае системы третьего порядка — это некоторая поверхность или даже часть ее). Можно привести пример странного аттрактора, занимающего все фазовое пространство. Это система типа «биллиарда Синая» (см. рис. 12.2), в которой рассматривается поведение шарика на участке плоскости, ограниченном отражающими выпуклыми стенками. Система консервативна и фазовое пространство ее четырехмерно (две координаты и два импульса). Шарик совершает случайное движение по плоскости, отражаясь от криволинейной стенки, и изменяет свои координаты и импульсы так, что фазовые траектории заполняют равномерно все фазовое пространство (происходит полное перемешивание траекторий). Бифуркация в этой системе, приводящая к появлению странного аттрактора, возникает в результате изменения параметра — кривизны стенки. Использование модели биллиарда Синая для обоснования сложных проблем теоретической биофизики мы подробно обсудим в главе 12.