§ 1. Распространение фронта возмущения

Вслед за авторами [3] будем считать, что на некоторой территории особи с доминантным признаком А распространены с некоторой концентрацией это вероятность встретить особь с признаком А. Будем далее считать, что особи с доминантными признаками и имеют преимущество в выживании над особями с признаками Математически это значит, что вероятность выживания особи с доминантным признаком в раз больше вероятности выживания особи При этом а обычно очень малое число Тогда с точностью до членов порядка приращение концентрации без учета диффузии генов в пространстве за одно поколение выражается формулой

Будем считать для простоты пространство одномерным, а начальную концентрацию особей с признаком А на заданном отрезке (в частности, неодинаковой. Будем также считать, что в промежутках между рождением и размножением особи могут случайно перемещаться (или диффундировать) на этом

отрезке. Тогда легко можно показать, что справедливо следующее уравнение для изменения концентраций:

Это уравнение является частным случаем более общего уравнения (8.1) при причем функция Авторы [3] рассматривали случай, когда (кривая I на рис. 9.1). Вообще говоря, может быть и знакопеременной (кривая

Рис. 9.1. Два типа зависимости функции соответствующих беспороговому (I) и пороговому (II) распространению фронта волны пороговое значение).

Если особи и в начальный момент сконцентрированы в полупространстве то в процессе размножения и диффузии они будут распространяться по всему пространству. Естественно ожидать, что фронт такой волны будет иметь характерную ширину I и некоторую скорость В работе [3] были получены важные результаты:

1. Асимптотически устойчивая скорость распространения фронта есть

2. Ширина фронта

3. Возмущение может двигаться со скоростью Физически это возможно, так как невозмущенная часть пространства неустойчива к любой положительной флуктуации. В самом деле, случайно занесенная особь А в любой точке может дать очаг распространения доминантного гена.

Перечисленные результаты были получены с помощью введения автомодельной переменной

или, что то же самое, рассмотрения решений уравнения (9.2) в движущейся со скрростью системе координат Для автомодельной переменной вместо уравнения (9.2) в частных производных получается уравнение в обыкновенных производных

Исключая из этой системы аргумент получим

Стационарному распространению фронта волны соответствует решение (9.6), удовлетворяющее краевым условиям

Таким образом, для определения необходимо решить краевую задачу (9.6), (9.7) на собственные значения.

Если функция знакопеременна или задана кривой II (см. рис. 9.1), то существует единственная скорость распространения фронта. Действительно, те части пространства, где сначала нет особей с геном А, защищены от случайного «заражения» некоторым порогом

В общем случае краевую задачу аналитически решить не удается. В частном случае задания в виде полинома от х это возможно. Ниже мы будем пользоваться выражением для в виде

где у — некоторый параметр. Тогда легко показать [5, 6], что стационарная скорость распространения фронта

Профиль фронта определяется формулой

где произвольная постоянная, зависящая от начальных условий.

На фазовой плоскости для уравнения (9.6а) при знакопеременной функции заданной (9.8), получается следующая качественная картина возможных траекторий (рис. 9.2). Особые точки и 3 соответствуют нулям функции При этом сепаратриса, идущая из седловой точки 1 в седловую точку 3, определяет форму фронта возмущения и стационарную скорость

Рис. 9.2. Фазовый портрет системы (9.6).

Важно отметить, что скорость фронта увеличивается вместе с ростом произведения коэффициента диффузии на коэффициент у, определяющий «крутизну» полинома в нулевых точках. Если функция симметрична относительно оси то скорость