Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 3. Автоколебания и диссипативные структуры в почти гармонических системахКвазигармоническими автоколебательными системами называются такие системы, в которых изменения переменных представимы в форме:
где амплитуда В несинфазном синхронном режиме амплитуда
в котором нулевой тон 1. Квазигармонические автоколебания существуют в общем случае лишь вблизи бифуркации, когда их амплитуда, как правило, мала. Область существования таких автоколебаний в биологических распределенных системах узка и они наблюдаются не часто. 2. Из предыдущего следует, что в однородных системах вблизи бифуркации (см. (8.16), Хотя квазигармонические несинфазные автоколебания в однородных системах представляют ограниченный интерес, их исследование поучительно в методическом отношении и полезно при рассмотрении проблемы синхронизации в неоднородном пространстве (см. гл. 10). Мы проведем его на примере модели (8.15а). Запишем систему (8.15а) в виде (см. (П47, 2])
Пусть Применим для отыскания стационарных решений (8.20) метод медленно меняющихся амплитуд. Решения в виде (8.19), где неизвестные функции
Уравнения (8.20) и (8.22), в которые произведены подстановки (8.19) и (8.21), разрешаются относительно
Отыщем значения
Граничные условия (8.2) для реактора длиной
(они выполняются с точностью до порядка величин С учетом тождества
Уравнение (8.25) имеет два тривиальных решения:
Здесь
где На рис. 8.3 построена зависимость
Рис. 8.3. Зависимость
Рис. 8.4. Разрешенные распределения амплитуды в пространстве для системы (8.20) — (8.23). Следовательно, максимально допустимое значение
Оно совпадает с величиной ятах, определенной из линейной теории (см. формулу в сноске на с. 164). На рис. 8.4 представлены «разрешенные» формы автоколебаний при отношении параметров Стационарные решения Таким образом, мы показали, что модели автоколебательных химических реакций с мягким режимом возбуждения в замкнутых одномерных реакторах не имеют никаких других устойчивых способов поведения, кроме синфазных по всему пространству Как показано в В целом, можно сделать следующий вывод. В распределенных автоколебательных системах второго порядка как с мягким, так и с жестким возбуждением помимо нулевого тона не существует других устойчивых решений типа «стоячих» волн. Возникают принципиальные вопросы, которые необходимо учитывать при изучении синхронных режимов в реальных системах. Укажем некоторые из них: 1) реальные распределенные кинетические системы неоднородны в пространстве, т. е. скорости процессов в разных точках пространства неодинаковы; 2) изменение колеблющихся кинетических переменных чаще всего носит релаксационный характер; 3) системы могут иметь более чем две независимых переменных; 4) в кинетических системах всегда присутствуют флуктуации, как внутренние, так и внешние. В последующих главах мы покажем, к чему приводит учет всех этих обстоятельств. В заключение параграфа кратко рассмотрим вопрос о поиске установившихся почти гармонических распределений кинетических переменных в пространстве (или диссипативных структур (ДС)). Почти гармоническими ДС называются такие стационарные решения системы (8.10), которые имеют форму, близкую к косинусо-идальной. Они возникают вблизи бифуркации Тюринга, когда отклонение параметра (или нескольких параметров) от бифуркационного значения невелико и может рассматриваться как бифуркационный параметр (см. условие (8.13)). Приемы исследования почти (или квази) гармонических ДС, основанные на методе малого параметра в теории нелинейных колебаний, были развиты в работах Николиса, Пригожина и их сотрудников Пусть стационарные решения (8.10) удовлетворяют граничным условиям второго рода на отрезке длиною
Отклонения параметра
Величины
которая обеспечивает граничные условия второго рода. Главный вклад в ряды дают члены с
Отсюда видно, что амплитуда почти гармонической ДС пропорциональна квадратному корню из отклонения параметра от бифуркационного значения. Напомним, что такая же зависимость имеет место при мягком возбуждении автоколебаний. Из (8.32) следует, что мягкое возбуждение ДС возможно лишь при положительном знаке
|
1 |
Оглавление
|