§ 3. Автоколебания и диссипативные структуры в почти гармонических системах

Квазигармоническими автоколебательными системами называются такие системы, в которых изменения переменных представимы в форме:

где амплитуда и фаза достаточно медленные функции в пространстве и во времени. Форма (8.19), разумеется, должна удовлетворять краевым условиям (8.2). Если величины постоянны во времени и пространстве, то (8.19) описывает синхронные и синфазные колебания, ничем не отличающиеся от автоколебаний точечной системы.

В несинфазном синхронном режиме амплитуда и фаза зависят от пространственной переменной Амплитуду можно представить в виде ряда Фурье:

в котором нулевой тон при соответствует синфазным колебаниям. Ниже мы обсудим два вопроса: какова форма зависимости и какова степень устойчивости несинфазных колебаний. Перед этим сделаем ряд замечаний.

1. Квазигармонические автоколебания существуют в общем случае лишь вблизи бифуркации, когда их амплитуда, как правило, мала. Область существования таких автоколебаний в биологических распределенных системах узка и они наблюдаются не часто.

2. Из предыдущего следует, что в однородных системах вблизи бифуркации (см. (8.16), вещественная часть или инкремент системы уменьшается с ростом волнового числа Отсюда уже можно сделать вывод (пока интуитивно) о том, что нулевой тон будет поглощать все остальные, т. е. будут выживать лишь синфазные автоколебания. Забегая вперед, отметим, что детальный анализ приводит к тому же заключению. Подчеркнем, что этот вывод справедлив лишь для систем с линейной диффузионной связью и диагональной матрицей При других пространственных взаимодействиях ситуация может быть существенно иной, однако здесь мы ее обсуждать не будем.

Хотя квазигармонические несинфазные автоколебания в однородных системах представляют ограниченный интерес, их исследование поучительно в методическом отношении и полезно при рассмотрении проблемы синхронизации в неоднородном пространстве (см. гл. 10). Мы проведем его на примере модели (8.15а). Запишем систему (8.15а) в виде (см. (П47, 2])

Пусть и условие самовозбуждения (8.17) выполнено. В этом случае наиболее существенную роль играет лишь диффузионный член тогда как два других диффузионных члена в (8.15а) имеют порядок и здесь отброшены. Последнее справедливо, когда зависимость от координаты достаточно гладкая.

Применим для отыскания стационарных решений (8.20) метод медленно меняющихся амплитуд. Решения в виде (8.19), где и - медленные функции времени, подставим в (8.20); при этом получится нелинейное уравнение, связывающее амплитуду и фазу и их производные по На функции и накладываются дополнительные ограничения, так как мы ввели две

неизвестные функции вместо одной х. А именно

Уравнения (8.20) и (8.22), в которые произведены подстановки (8.19) и (8.21), разрешаются относительно Затем правые и левые части полученных уравнений усредняются за период Описанная процедура приводит к укороченным уравнениям вида

Отыщем значения и не зависящие от времени, для чего будем считать Уравнение для стационарной фазы будет тогда:

Граничные условия (8.2) для реактора длиной принимают вид

(они выполняются с точностью до порядка величин Следовательно, на протяжении всего реактора. Это значит, что автоколебания во всех точках происходят синфазно.

С учетом тождества первое уравнение системы (8.23) можно использовать для определения стационарного распределения амплитуды. При имеем

Уравнение (8.25) имеет два тривиальных решения: (очевидно, что решение неустойчиво). Остальные решения ищутся из соображений симметрии системы относительно середины отрезка В самом деле, разумно ожидать таких решений которые принимают на обоих торцах либо одинаковые значения либо на одном конце а на другом — Такие решения приводят к эллиптическому интегралу:

Здесь удовлетворяет уравнению (8.25). Константа находится из трансцендентного уравнения

где полный эллиптический интеграл первого рода

На рис. 8.3 построена зависимость Зная отношение параметров и задавая по этому графику можно найти величины о для различных Минимальное значение равно

Рис. 8.3. Зависимость от амплитуды

Рис. 8.4. Разрешенные распределения амплитуды в пространстве для системы (8.20) — (8.23).

Следовательно, максимально допустимое значение которое находится из формулы (8.27), равно

Оно совпадает с величиной ятах, определенной из линейной теории (см. формулу в сноске на с. 164).

На рис. 8.4 представлены «разрешенные» формы автоколебаний при отношении параметров Если при полученное решение еще отличается от косинусоиды, показанной на рисунке пунктиром, то уже при этого различия практически нет.

Стационарные решения были исследованы на устойчивость относительно отклонений различной формы. Если в качестве начальных условий задать одинаковое отклонение концентраций по всей длине и одновременно с ним какой-либо разрешенный тон колебаний то с течением времени «выживают» лишь колебания, происходящие с амплитудой

Таким образом, мы показали, что модели автоколебательных химических реакций с мягким режимом возбуждения в замкнутых

одномерных реакторах не имеют никаких других устойчивых способов поведения, кроме синфазных по всему пространству колебаний. Одной из возможных моделей, которая могла бы дать более разнообразные формы распределения устойчивых амплитуд автоколебаний в реакторе, является автоколебательная система с жестким режимом возбуждения. В самом деле, жесткие системы имеют устойчивое состояние равновесия и для того, чтобы возбудить в них автоколебания, им нужно сообщить извне «толчок» конечной величины

Как показано в при наличии диффузии в автоколебательной системе с жестким режимом самовозбуждения можно наблюдать три физически реализуемых режима. Первый — когда все точки пространства совершают синхронные колебания с амплитудой автоколебаний А «точечного» генератора. Второй — когда все точки пространства находятся в положении равновесия и автоколебаний нет. И, наконец, третий, «квазиустойчивый», режим — когда часть пространства совершает автоколебания с амплитудой, близкой к амплитуде А «точечного» генератора, а в другой части пространства наблюдаются вынужденные колебания. «Квазиустойчивость» означает, что граница между возбужденной и невозбужденной частями системы находится в состоянии «безразличного» равновесия и может смещаться под действием малых возмущений. Отметим, что если вместо распределенной системы рассматривается ее дискретный аналог — цепочка связанных генераторов с жестким возбуждением, то эта граница становится устойчивой по отношению к малым возмущениям и неустойчивой по отношению к возмущениям конечной амплитуды. Последнее обстоятельство может быть важным при изучении автоколебаний в живых клетках, связанных диффузией через соприкасающиеся мембраны.

В целом, можно сделать следующий вывод. В распределенных автоколебательных системах второго порядка как с мягким, так и с жестким возбуждением помимо нулевого тона не существует других устойчивых решений типа «стоячих» волн. Возникают принципиальные вопросы, которые необходимо учитывать при изучении синхронных режимов в реальных системах. Укажем некоторые из них: 1) реальные распределенные кинетические системы неоднородны в пространстве, т. е. скорости процессов в разных точках пространства неодинаковы; 2) изменение колеблющихся кинетических переменных чаще всего носит релаксационный характер; 3) системы могут иметь более чем две независимых переменных; 4) в кинетических системах всегда присутствуют флуктуации, как внутренние, так и внешние. В последующих главах мы покажем, к чему приводит учет всех этих обстоятельств.

В заключение параграфа кратко рассмотрим вопрос о поиске установившихся почти гармонических распределений кинетических переменных в пространстве (или диссипативных структур (ДС)). Почти гармоническими ДС называются такие стационарные решения системы (8.10), которые имеют форму, близкую к косинусо-идальной. Они возникают вблизи бифуркации Тюринга, когда

отклонение параметра (или нескольких параметров) от бифуркационного значения невелико и может рассматриваться как бифуркационный параметр (см. условие (8.13)). Приемы исследования почти (или квази) гармонических ДС, основанные на методе малого параметра в теории нелинейных колебаний, были развиты в работах Николиса, Пригожина и их сотрудников а также (независимо) Васильевым и в работах [6, 7]. Изложим кратко процедуру, с помощью которой можно оценить амплитуду почти гармонической ДС в простейшем случае.

Пусть стационарные решения (8.10) удовлетворяют граничным условиям второго рода на отрезке длиною Рассмотрим малый интервал (см. выражение (8.12) и рис. 8.1 и 8.2), такой, что внутри него может находиться лишь одно волновое число Бифуркационным значением параметра, например, будем считать такое при котором совпадает с одним из граничных значений или и исследуем систему (8.10) при используя метод малого параметра. Для этого разложим функции Р(х, у) и в ряды по отклонениям от однородного решения до членов третьего порядка малости включительно. Стационарные значения и будем искать в виде рядов по малому параметру а

Отклонения параметра от бифуркационного значения также представим в виде

Величины представляются в форме

которая обеспечивает граничные условия второго рода. Главный вклад в ряды дают члены с остальные амплитуды (при играют роль малых поправок. Подставляя в (8.10) и собирая члены при одинаковых гармониках и одинакового порядка, нетрудно получить систему зацепляющихся алгебраических уравнений для величин и параметры которой зависят от Величины определяются из условия разрешимости алгебраической системы. При этом в достаточно общем случае величина выражается через коэффициенты системы (8.10) и, в частности, через коэффициенты при кубичных членах разложения По порядку величины Указанная процедура приводит к следующему результату:

Отсюда видно, что амплитуда почти гармонической ДС пропорциональна квадратному корню из отклонения параметра от бифуркационного значения. Напомним, что такая же зависимость имеет место при мягком возбуждении автоколебаний.

Из (8.32) следует, что мягкое возбуждение ДС возможно лишь при положительном знаке . В противном случае малая гармоническая ДС невозможна. Физический смысл этого прост: гармоническая ДС возникает в случае, когда рост амплитуды, обусловленный неустойчивостью линейного приближения, компенсируется нелинейными членами. В случае, если знаки нелинейных членов таковы, что они не компенсируются, а, напротив, способствуют дальнейшему нарастанию амплитуды (при этом имеет место не мягкое, но «катастрофическое» образование ДС большой амплитуды.