§ 4. Проблема биологической инерционности

Физиологическая инерционность живой клетки проявляется наиболее заметным образом в начальной фазе культивирования, когда клетки «привыкают» к новым условиям существования — по большей части, к новому виду или концентрации питательной среды. При непроточном выращивании микроорганизмов проходит известное время (лаг-период), прежде чем начинается интенсивное размножение клеток и скорость роста достигает максимального значения. Причины этой задержки могут быть разными (см. но главные из них связаны с инерционностью в изменении внутриклеточных концентраций веществ, необходимых для переработки данного субстрата: белков-энзимов, соответствующих им информационных РНК и, наконец, рибосомальной РНК.

Простейшая модель инерционности клетки может быть записана в виде дополнительного дифференциального уравнения для скорости роста (см. [41, 421):

где время установления стационарного значения При этом можно предположить различные причины возникновения инерционности: синтез новых ферментов, информационной РНК или рибосом. Оценки, приведенные нами в [411, показывают, что самый медленный процесс — синтез рибосом (см. также [43]).

Отметим, что в работе [44] говорится о некоторой абстрактной «промежуточной субстанции», синтез которой определяет наиболее медленноезвено («бутылочное горлышко») процессов роста. Тем не менее, нам удобнее оперировать с конкретным механизмом синтеза

рибосом, чтобы иметь возможность проводить некоторые численные оценки.

В ряде экспериментов, выполненных Малё с соавторами [45], и независимо в лаборатории Иерусалимского [46, 47], изучалась зависимость между процентным содержанием рибосомальной РНК в клетке и удельной скоростью роста биомассы Дрежде всего, было показано, что при переносе культуры на более богатую среду соответствующее повышение скорости роста может произойти не раньше, чем возрастет процентное содержание рибосомальной РНК в клетке. Возрастание же происходит достаточно медленно (рис. 3.16), а именно, за время, сравнимое с временем репродукции клеток (см. также

Рис. 3.16. Изменение содержания нуклеиновых кислот (РНК/белок) в клетках Аs. vinelandii с увеличением скорости роста от до

Рис. 3.17. Процентное содержание РНК в биомассе при различных скоростях роста. 1 — общее количество РНК в биомассе, 2 — рибосомальиая РНК, 3 - растворимая

Зависимость установившегося значения от скорости роста оказалась линейной (рис. 3.17) и может быть выражена соотношением

На основании этих экспериментальных данных можно представить процесс установления концентрации рибосом в виде дифференциального уравнения первого порядка:

Величина характеризующая время установления стационарной концентрации зависит от скорости роста биомассы Действительно, второй член в правой части уравнения (3.37) описывает убыль относительного числа рибосом, а так как рибосомы в клетках заметным образом не распадаются, то уменьшение может осуществляться, в основном, из-за прироста биомассы. Поэтому положим тогда уравнение для изменения концентрации

будет иметь вид

Уравнения (3.36) и (3.38) могут быть использованы и при описании проточного культивирования микроорганизмов. Физиологическая инерционность клеток в этом случае должна вызывать запаздывание в установлении нового стационарного значения скорости роста при изменении внешних условий культивирования — скорости протока или входной концентрации питательного субстрата. В принципе, подобная инерционность может вызвать появление колебательных режимов в процессе установления. На наличие таких колебаний при определенных условиях указывает ряд экспериментальных данных (см., например, [48, 49, 51]).

Подробное исследование возможности появления колебательных свойств у проточных культур, обладающих биологической инерционностью, было проведено нами совместно с Иерусалимским на основании гипотезы о процессе синтеза рибосом как наиболее инерционном звене [43].

Система уравнений, описывающая рост биомассы в проточном культиваторе и учитывающая процесс синтеза рибосом, имеет вид

где параметры имеют тот же смысл, что и выше (см. § 3).

Зависимость текущего значения скорости роста от процентного содержания рибосом в клетке в тот же момент времени и концентрации субстрата была найдена на основании следующих соображений. Предполагается, что синтез белка из аминокислот А на рибосомах можно описать кинетическим уравнением

где свободная (суммарное количество рибосомальной РНК будет Тогда в квазистационарном приближении для скорости синтеза белка будет справедливо выражение

С другой стороны, учитывается, что белок составляет постоянную часть от биомассы: а пул свободных аминокислот при сбалансированном росте пропорционален концентрации субстрата: Тогда, введя величину -долю рибосомальной РНК в биомассе из (3.40) получим для прироста биомассы:

Отсюда удельную скорость роста можно записать в виде

где максимальное значение скорости роста при

Чтобы замкнуть систему уравнений (3.39), (3.41), надо еще определить зависимость стационарного значения входящего в последнее уравнение системы (3.39), от концентрации субстрата Используем эмпирическую формулу (3.36) и получим

Найдем также зависимость

Обозначив мы придем к известной формуле Моно для установившегося значения скорости роста (см. (3.8)). Таким образом, гипотетическая константа насыщения может быть легко определена из опытных данных

Введем теперь безразмерные переменные и коэффициенты по формулам (3.17), Параметр очевидно, может принимать значения так как Из данных рис. 3.17 можно найти значение (большая ошибка в определении связана с малым числом экспериментальных точек на прямой Запишем окончательно систему третьего порядка, описывающую рост биомассы в проточном культиваторе с учетом инерционности:

Система (3-44) имеет две точки равновесия:

Относительно первой точки надо отметить, что отличное от нуля стационарное значение при означает, что непосредственно перед вымыванием, когда концентрация субстрата почти равна максимальному значению концентрация рибосом в клетке достигает максимального возможного при данной входной концентрации субстрата уровня (при этом очевидно, что Исследование устойчивости точки 2 проведено подробно в [43], где было получено, что в некоторой области изменения параметров могут происходить затухающие колебания при установлении стационарного состояния, т. е. особая точка является устойчивым фокусом. Можно оценить добротность системы (отношение собственной частоты к декременту затухания); зависимость от скорости протока при разных значениях параметра приведена на рис. 3.18. Из рисунка видно, что колебания с малым декрементом возможны лишь в предельном случае который в данной постановке задачи бессмыслен, так как концентрация рибосомальной РНК не может быть равной нулю даже при

Отсюда, по-видимому, можно сделать вывод, что наблюдаемые иногда слабо затухающие колебания [48] не могут быть связаны с

синтезом рибосом, а должны иметь другую природу. Тем не менее, эти колебания могут описываться системой, аналогичной (3.44), с параметром Ближе всего к изложенной выше теории примыкает уже упоминавшаяся модель 144], которая содержит уравнение, описывающее скорость синтеза некоторой промежуточной субстанции; при этом учтено субстратное ингибирование роста при больших S. Авторы не приводили аналитического исследования своей системы, численные же расчеты показали наличие сильно затухающих колебаний.

Существует также ряд работ, в которых постулируются механизмы возникновения колебаний, не связанных с инерционностью. В монографии Бергтера приводится модель, учитывающая высокий порядок угнетения скорости роста клеток продуктами метаболизма. В этом случае автор получает затухающие колебания в процессе] установления стационарного состояния.

Отметим здесь также ставшую уже классической работу Рамкришны с соавторами [50], где моделируется процесс выработки активными клетками некоторого ингибитора, который вызывает переход клеток в неактивное состояние (при этом количество ингибитора возрастает). В этой модели были получены затухающие колебания концентрации клеток в нестационарных условиях. В этой же работе, кроме того, рассматривались в качестве динамических переменных два компонента биомассы — нуклеиновые кислоты и белки. Сложные взаимодействия переменных позволили получить в модели как затухающие, так и незатухающие колебания.

Заметим в заключение, что достаточно простая модель автоколебаний в проточной культуре микроорганизмов может быть построена в предположении возрастной неоднородности популяции. Эта модель будет изложена в следующей главе (см. § 1).

Рис. 3.18. Добротность системы с инерционностью: .