ГЛАВА 10. СИНХРОНИЗАЦИЯ АВТОКОЛЕБАНИЙ В НЕОДНОРОДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§ 1. Базовая модель неоднородной распределенной системы

В предыдущих параграфах мы неоднократно говорили о синхронных и синфазных режимах, существующих во всем пространстве. Однако все полученные выводы относились к простейшему случаю. Именно, скорости реакций, а следовательно, и параметры уравнений не зависели от координаты На практике в химических и биологических кинетических системах всегда существует разброс начальных концентраций, неравномерность температуры, освещенности и т. п., и это приводит к зависимости параметров от координат. С другой стороны, отдельные клетки, в которых могут происходить автоколебательные процессы, также имеют разбросы частот и других параметров этих процессов. Если таких клеток много, то их коллектив образует некоторую «распределенную систему» с параметрами, зависящими от координаты.

Заранее можно сказать, что если у многих автоколебательных систем частоты «немного» отличаются друг от друга и если системы связаны между собой (например, диффузией), то можно ожидать установления синхронных режимов автоколебаний. Это обстоятельство является следствием самой природы автоколебательных систем. Оно неоднократно использовалось и в научных экспериментах, и в технических приложениях. Обычно интересовались, как ведет себя автогенератор под действием внешней периодической силы или же как синхронизуются между собой два-три автогенератора. Постановка в биофизике задачи о взаимодействии и взаимной синхронизации многих или целого континуума автоколебательных систем возникла сравнительно недавно.

Большое число реальных химических и биологических автоколебательных систем, упомянутых в § 4 гл. 8, в определенных условиях синхронизуются в пространстве. Это, например, относится к реакциям Белоусова — Жаботинского в условиях интенсивного перемешивания. Синхронно сокращаются филаменты в стенках тяжей плазмодия миксомицета, синхронно работают волокна сердечной мышцы и т. д.

В нашей монографии проблемам синхронизации было посвящено несколько глав. Там рассматривались различные модели как гармонических, так и релаксационных неоднородных в пространстве автоколебательных систем и обсуждалась связь особенностей их синхронных режимов с наблюдаемыми на опыте явлениями.

Здесь мы сформулируем достаточно общую модель, которая в одном предельном случае описывает почти гармонические синхронные колебания, а в другом — релаксационные. Такая модель имеет

Здесь случайные функции времени и координаты. Они описывают влияние на систему и, в частности, на ее синхронный режим всегда присутствующих при реальных кинетических процессах внутренних и внешних флуктуаций. Их роль будет пояснена настоящей главы. Параметры определяющие частоту и нелинейное затухание, а следовательно, и амплитуду системы, зависят от координаты

Если положить константами, то (10.1) совпадает по форме с базовой моделью (8.10). Одна из изоклин соответствующей ей точечной системы -образна, а другая пересекает ее так, что уравнения допускают автоколебательные решения (см. рис. 9.3). Если при этом то соответствующая точечная система близка к порогу самовозбуждения и описывает почти гармонические автоколебания; при модель дает релаксационные автоколебания.

Нелинейные уравнения в частных производных с коэффициентами, зависящими от координаты «в лоб» не решаются. Воспользуемся поэтому представлением непрерывного по одномерного пространства в виде отдельных «отсеков» или элементарных объемов с полным внутренним перемешиванием, связанных между собой диффузией. Тогда для уравнений (10.1) можно записать соответствующую систему вида

Здесь учтены условия непроницаемости торцов одномерного «реактора», где исследуются процессы синхронизации. Величины коэффициентов связи равны

Количество уравнений в системе (10.2) соответствует числу элементарных объемов. Индексы у переменных и параметров соответствуют номеру отсека. Можно считать, что где координата центра соответствующего элементарного объема одномерного реактора.