§ 1. Механика и статистика

Из сопоставления общих принципов механики и статистической физики следует, что они не только различны, но и противоречат друг другу. Наиболее четко это проявляется в том, что в механике процессы обязаны быть обратимыми во времени, в то время как второе начало термодинамики постулирует необратимое увеличение энтропии. Это значит, что ни принципы механики, ни принципы термодинамики не являются на самом деле достаточно общими и существует промежуточная область явлений, описание которых требует особого подхода Проследив детально переход от механики к статистике и термодинамике, мы сможем локализовать то место, в котором нарушаются принципы механики и возникает статистическое описание. При этом возникает необходимость пересмотра некоторых, казалось бы, привычных и установившихся понятий.

Эта проблема обсуждается уже сравнительно давно — впервые она возникла в дискуссии между Больцманом и Цермелло. Долгое время, однако, она казалась абстрактной, представляющей

интерес только в логическом плане. С точки зрения практики казалось, что все объекты и явления можно четко разделить на два класса — относящиеся к механике или к термодинамике; промежуточные объекты были вне поля зрения. Сейчас, особенно с развитием биофизики, ситуация существенно изменилась: как уже упоминалось, процессы, протекающие в биологических объектах, не являются ни чисто механическими, ни чисто термодинамическими. В связи с этим проблема связи механики и статистики становится вполне практической.

Решение этой проблемы появилось не сразу. Основная идея появилась лишь в 1948 г. и принадлежала Н.С. Крылову [1]. Дальнейшее развитие было осуществлено в работах Колмогорова и Синая (см. [2, 3]). Применение этих идей к конкретным задачам (системе взаимодействующих нелинейных осцилляторов, задачам квантовой механики) содержится в работах 14, 5]. Мы кратко изложим основные положения и результаты этой теории.

Основная идея связана не с отрицанием какого-либо положения механики, а с вопросом о соответствии между вычисляемыми и наблюдаемыми величинами. Обычно в механике предполагают, что любая из фигурирующих в теории величин является наблюдаемой; поэтому вопрос о соответствии, как правило, даже не обсуждается (иное положение в квантовой механике, где сразу постулируется, что некоторые из величин принципиально не наблюдаемы).

В действительности, однако, это не всегда так. Если решение какой-либо динамической задачи неустойчиво (будь то движение или стационарное состояние), реальные наблюдения наверняка приведут к результату, сильно отличающемуся от решения. Ясно, например, что невозможно наблюдать карандаш, сколь угодно долго стоящий на острие, хотя решение, соответствующее такому состоянию, существует. В связи с этим можно сформулировать следующее положение: решения любой динамической задачи реализуются в действительности, только если они устойчивы.

Эти утверждения кажутся тривиальными, однако именно они являются основой для пересмотра понятий.

Во-первых, отсюда следует, что механический процесс может стать необратимым во времени, если он сам или обратный ему процесс неустойчивы.

Во-вторых, требует ревизии важное для физики понятие изолированной системы. Абсолютно изолированных систем в природе не бывает. Если, однако, внешние воздействия малы и отклик системы на них тоже мал в меру малости воздействия, изолированную систему можно понимать как предел неизолированной при стремлении амплитуды внешних воздействий к нулю. Малость отклика означает, что система устойчива. Если система сильно неустойчива, отклик ее на сколь угодно малое воздействие с течением времени становится не малым. Общепринятое понятие изолированной системы при этом теряет смысл. Вместо него вводится понятие относительно изолированной системы — такой, в которой амплитуда внешних воздействий много меньше амплитуды соответствующих

величин в самой системе (например, энергия внешних воздействий много меньше энергии системы и т. д.).

Отсюда следует, что такие механические величины, как, например, полная энергия, всегда устойчивы (в смысле Ляпунова). Однако такое понятие, как траектория отдельной частицы, в случае сильной неустойчивости теряет смысл. Точнее: в этом случае траекторию отдельной частицы можно и рассчитать, и измерить, но результаты расчета никогда даже приближенно не будут совпадать с измерениями.

В-третьих, в неустойчивых системах требует пересмотра понятие причины явления. В динамических теориях любой результат является следствием уравнений движения и начальных условий; последние и рассматриваются обычно как «причины» результата. При этом не учитываются меры причины и следствия, т. е. подразумевается обычно, что они одного порядка. Последнее, однако, имеет место, только если процесс устойчив. В неустойчивых процессах исчезающе малая «причина» может вести к большому «следствию». В этом случае разумнее считать причиной явления не исчезающе малое возмущение, а саму неустойчивость. Можно сказать, что причиной нарушения обратимости является свойство системы — ее неустойчивость.

Наконец, в-четвертых, неустойчивость — то свойство, благодаря которому в динамических теориях появляется понятие вероятности. Дело в том, что в неустойчивых процессах направление отклика (например, отклонение траектории вправо или влево от рассчитанной) зависит от направления возмущения. Однако исчезающе малые возмущения, как правило, не поддаются динамическому анализу; ни величину их, ни направление нельзя ни предсказать, ни измерить. К описанию поведения исчезающе малых возмущений применим вероятностный подход. В связи с этим появляется необходимость в неустойчивых системах применять вероятностное описание и к отклику. Таким образом, система переходит из разряда динамических в класс статистических.

Рассмотрим теперь проблему связимеханики истатистики на основе изложенных соображений. Традиционной статистической системой считается сосуд с газом. Мы рассмотрим его упрощенную модель — сосуд с упруго соударяющимися шарами. Пусть шары имеют радиус столкновения их полностью упруги и объем сосуда Взаимодействие шаров в случае, если их центры находятся на расстоянии, большем отсутствует.

Рассмотрим одно из точных рещений и проследим за траекторией одного из шаров. Примем, что начальноеугловоеотклднение от траектории было мало: Пусть перед соударением отклонение от точной траектории было Тогда угол между точной траекторией и отклоненной после соударения будет:

Углы приведены на рис. 12.1 и равны

длина пути между соударениями шаров);

К моменту времени когда произошло соударений, отклонение будет

Поскольку величины отклонение от траектории экспоненциально растет с ростом числа соударений и, следовательно, со временем.

Рис. 12.1. Схема соударения шаров.

Рис. 12.2. Простейшая механическая система, в которой все траектории неустойчивы (биллиард Синая). Две вначале близкие траектории (сплошная линия и пунктир) затем расходятся.

Вводя средние по времени величины, характеризующие данную траекторию, можно написать:

где среднее по времени число соударений в единицу времени, а

— среднее по времени значение логарифма. Таким образом, траектория является неустойчивой, время развития неустойчивости

Заметим, что это относится к любой траектории любого из шаров, так как, кроме наличия соударений, при выводе не было использовано никаких специальных свойств траектории. Отсюда следует, что любая траектория в фазовом пространстве является особой — сепаратрисной. Этот тип глобальной неустойчивости обсуждался выше; он характерен для одного из классов странных аттракторов и в системах четного порядка (консервативных) он возможен в четырех- (и более) мерном пространстве.

Число шаров в рассматриваемом примере (число степеней боды системы) также не играло существенной роли. Нетрудно по

казать, что неустойчивость со всеми вытекающими последствиями возникает даже в случае, если имеется одии шар на плоскости, ограниченной стенками, из которых хотя бы одна вогнута (так называемый биллиард Синая — рис. 12.2).

Однако можно привести примеры систем, развитие которых протекает устойчиво, несмотря на большое число степеней свободы. К таковым относятся системы частиц, взаимодействующих так, что эффективный радиус стремится к бесконечности (например, при кулоновском взаимодействии или гравитации). Так, устойчивой является Солнечная система. Отсюда следует, что большое число степеней свободы — вовсе не необходимое и не достаточное условие для того чтобы система являлась статистической. Это обстоятельство следует особо подчеркнуть, поскольку часто высказываются обратные утверждения.

Таким образом, ни одно точное решение рассматриваемой задачи не является устойчивым и не может существовать много дольше времени То же относится, разумеется, и к обратному решению (имеется в виду решение, у которого в момент времени координаты шаров совпадают с координатами одного из решений, а скорости отличаются знаком). Поэтому с микроскопической точки зрения ни один из процессов не может быть обратимым во времени. Фотографируя систему через интервалы времени порядка мы будем наблюдать разные решения и с течением времени переберем их все. Стационарное состояние системы не может быть описано ни одним из точных решений, а представляет собой последовательное чередование различных решений, соответствующих различным начальным состояниям.

Если ввести средние по времени характеристики, соответствующие данному точному решению (например, усредненное по времени значение импульса, переданного единице поверхности сосуда за единицу времени, — аналог давления), то возможны два случая, а) Среднее по времени для данного решения совпадает со средним по ансамблю решений. В этом случае средние характеристики с течением времени изменяться не будут и с макроскопической точки зрения процесс обратим просто в силу того, что ничего не меняется. С микроскопической и механической точки зрения процесс все же необратим, б) Средние по времени для данного решения отличаются от средних по ансамблю. В этом случае в силу неустойчивости решение будет распадаться и средние микрохарактеристики будут стремиться к средним по ансамблю. Процесс этот будет необратим со всех точек зрения.

Выше рассматривалось только начало развития неустойчивости, т. е. интервал времени, в течение которого отклонения еще малы и столкновения происходят между теми же шарами, что и в точном решении. С момента, когда в одной из траекторий отклонение достигает величины очередного соударения не произойдет, и эту траекторию можно считать сильно (катастрофически) отличающейся от рассчитанной. Этот шар сам служит причиной катастрофических отклонений траекторий других шаров.

Представляет интерес проследить, как меняется со временем число шаров траектории которых катастрофически отклонились от исходных. Уравнение для числа таких шаров имеет вид

где — сечение шаров, их скорость, V — объем сосуда, полное число шаров. Решая уравнение (12.4), получим

число соударений одного шара в единицу времени). Здесь время отсчитывается от момента, когда катастрофически изменилась траектория одного шаров, т. е. при имеем При

т. е. доля катастрофически нарушенных траекторий растет со временем экспоненциально. Время развития этой неустойчивости того же порядка, что и в прежней задаче (поскольку фактор порядка единицы). При т. е. когда имеем

т. е. число шаров, имеющих траекторию, близкую к рассчитанной, экспоненциально стремится к нулю. Состояние, в котором система со временем равномерно перебирает все возможные решения (пребывая в каждом из них одинаковое время), можно назвать состоянием полного хаоса. Выражение (12.7) говорит о том, что такое состояние устойчиво. Отсюда следует, что средние (по всем возможным решениям) характеристики системы также будут устойчивы. К таковым относятся: средний импульс, передаваемый элементу поверхности (давление), средняя кинетическая энергия (температура) и другие термодинамические величины.

Тот факт, что инкремент неустойчивости механических решений совпадает с декрементом затухания в (12.7), не случаен. Любое динамическое решение с точки зрения статистического подхода является флуктуацией, а процесс разрушения решения — релаксацией флуктуации. Таким образом, неустойчивость механических состояний означает устойчивость статистических. Верно также и обратное утверждение: устойчивость механических решений означает отсутствие релаксации флуктуаций и, следовательно, неустойчивость статистической системы.

Одним из самых важных понятий в термодинамике является энтропия, на нем мы остановимся подробнее. Обычно энтропия определяется как логарифм статистического веса. Статистический вес — число доступных микроскопически различных состояний (или число возможных различных механических решений), которыми может быть осуществлено данное макроскопическое состояние.

Обсудим это понятие в свете изложенного выше. Если система устойчива, то доступным является только одно единственное динамическое решение. В этом случае статистический вес равен единице, а энтропия — нулю. Если все рассматриваемые степени свободы одинаково сильно неустойчивы, то доступны все траектории.

В этом случае наибольшее время система проводит в состоянии с максимальным статистическим весом (и энтропией). Это и есть состояние термодинамического равновесия, в котором энтропия имеет четкий смысл. Если в системе степени свободы удается разделить на две группы, устойчивые и сильно неустойчивые, то можно говорить о состоянии термодинамического равновесия по неустойчивым степеням свободы. Понятия статистического веса и энтропии в этом случае также имеют четкий смысл.

Реально в физике чаще всего имеет место последний случай. Например, когда рассматривается газ в сосуде, то принимается, что стенки сосуда стабильны, т. е. степени свободы, связанные с ними, устойчивы. Они не дают вклада в статистический вес, в последнем учитываются только сильно неустойчивые степени свободы молекул газа. С точки зрения «полного термодинамического равновесия» сосуд — колоссальная флуктуация, правда, релаксирующая очень медленно. Таким образом, условием четкого разделения степеней свободы на устойчивые и неустойчивые является достаточно большая разница характеристических чисел.

Можно сказать, что по относительно устойчивым степеням свободы система очень далека от состояния термодинамического равновесия. Если, однако, различные степени свободы обладают различной, но сравнимой степенью устойчивости или имеется не два, а несколько характерных масштабов времени, ситуация осложняется. В этом случае оговорка «доступные» в определении статистического веса становится очень важной. Разделение степеней свободы на устойчивые и неустойчивые в этом случае условно; оно возможно, только если указан интервал времени наблюдения над системой или, что то же, характерное время рассматриваемого процесса. Столь же условными становятся и понятия термодинамического равновесия и энтропии; можно лишь говорить о равновесии определенных степеней свободы (тех, время развития неустойчивости которых меньше времени наблюдения) и их энтропии. Подчеркнем, что сама величина энтропии зависит от «условий наблюдения» — его характерного времени.

Положение еще более осложняется, если система открыта и через нее проходит поток энергии и вещества. Энергия при этом распределяется по степеням свободы в общем случае неравномерно, и это зависит от того, как именно притекает энергия. Приобретают ее и относительно устойчивые степени свободы. Их движение уже не будет случайным и на них эргодическая гипотеза распространяться не может.

Разделение степеней свободы на «термодинамически равновесные» и «выделенные» (неравновесные) должно проводиться на основе.

анализа устойчивости. Именно это и делается в каждом конкретном случае, правда, порою на интуитивном уровне и без должных оговорок.