§ 3. Математические модели в микробиологии

В этом параграфе мы исследуем несколько простых моделей роста микроорганизмов, не претендуя на полноту изложения вопроса.

Модель Исторически математическая микробиология как самостоятельная наука ведет свое начало от фундаментальной работы Моно [22]. Изучая рост культуры микроорганизмов на лимитирующих субстратах, Моно показал, что при постоянстве внешних условий сохраняется постоянным отношение

(или, по современной терминологии, экономический коэффициент); соответственно текущая и начальная концентрации биомассы и субстрата. Далее Моно в этой же работе записал замкнутую систему уравнений, описывающих рост культуры, засеянной в некотором сосуде:

и нашел ее аналитическое решение. В безразмерных переменных

зависимость выражается в виде суммы логарифмов:

(рис. 3.6, кривая I).

Рис. 3.6. Рост биомассы: -модель Моно (3.18), -модель Ферхюльста

Рис. 3.7. Фазовый портрет системы (3.16).

На фазовой плоскости х, у решение представляется в виде прямых (рис. 3.7). Из начальной точки при

система стремится в конечное состояние вся прямая является прямой стационарных состояний.

Таким образом, уже в 40-х годах была построена математическая модель роста культуры бактерий в замкнутом сосуде. Прекращение роста биомассы в этой модели имеет явную физическую причину — истощение питательной среды, и в этом, с нашей точки зрения, заключается преимущество модели Моно (3.8) перед другими, например, перед моделью Ферхюльста (3.12). Приведем здесь для сравнения получающееся из последней уравнение логистической кривой (рис. 3.6, кривая

Отметим еще раз, что равновесие в модели (3.12) имеет несколько иной смысл, чем в модели Моно (3.16). Можно, например, считать, что ресурсы пищи неограниченны и клетки сначала (при малых х) размножаются с постоянной скоростью, однако, начиная с некоторого момента, прирост биомассы уравновешивается убылью, происходящей из-за взаимодействия клеток.

Модель II. Следующим этапом в математической микробиологии можно считать разработку моделей роста микроорганизмов в проточных условиях. Проточное, или непрерывное, культивирование издавна имеет широкое применение в промышленном производстве, так как обеспечивает непрерывный вывод из установки однородной массы клеток. Теория непрерывного культиватора — хемостата — была предложена в 50-х годах Моно [31] и параллельно в США Новиком и Сциллардом [32].

Уравнения баланса биомассы и лимитирующего субстрата в хемостате (с использованием формулы Моно (3.8)) были записаны в виде системы уравнений

где скорость протока, или разбавления, имеющая размерность концентрация субстрата, поступающего в культиватор, экономический коэффициент. В безразмерных переменных (3.17) имеем

Здесь введены параметры

Система (3.21) имеет две особые точки:

Точка (3.236) лежит в положительном квадранте в ограниченной области изменения параметра

Граничное значение скорости протока называется скоростью вымывания. Действительно, при прирост биомассы не может уже компенсировать ее отток и культура полностью «вымывается» из культиватора. Стационарные концентрации х и у (3.23) в зависимости от при представлены на рис. 3.8 сплошными линиями.

Определим характер устойчивости особых точек. Для точки (3.23а) корни характеристического уравнения: Следовательно, в условиях вымывания, когда оба корня отрицательны и особая точка с нулевой концентрацией биомассы — устойчивый узел. При эта особая точка становится седлом.

Для состояния равновесия В силу условия (3.24) оба корня всегда отрицательны и особая точка (3.236) всегда — устойчивый узел.

На рис. 3.9 изображен фазовый портрет системы (3.21). В случае (а) все траектории сходятся к стационарной точке 2, в случае к точке 1 (происходит вымывание биомассы).

Исследование поведения системы (3.20) при наличии малого параметра проведено в работе [33].

Рис. 3.8. Зависимость сационарных концентраций от 6 при Сплошные линии — модель II, пунктир—модель

Рис. 3.9. Фазовый портрет модели II (Моно). А — изоклина вертикальных касательных: В — горизонтальных:

Введя безразмерные переменные по формулам и обозначив можно привести систему (3.20) к виду

Таким образом, по крайней мере для больших значений х, система разбивается на быстрое уравнение для и медленное — для х.

Итак, в проточном культиваторе при лимитировании роста микроорганизмов субстратом может существовать устойчивое состояние равновесия с ненулевой биомассой. Устойчивость системы обеспечивается как бы «отрицательной обратной связью» через концентрацию лимитирующего субстрата [33].

Важное свойство хемостата — «автостабилизация» лимитирующего фактора — было отмечено в работе Печуркина с соавторами [34]. Из формул (3.17), (3.23) следует, что в стационарном состоянии концентрация субстрата в культиваторе не зависит от о о — входной концентрации; от зависит лишь стационарная концентрация биомассы X:

Если при заданном увеличивать то в области (рис. 3.10) осуществляется режим вымывания при биомасса X растет линеино вместе с а концентрация субстрата будет стабилизирована на уровне Существенно, что это справедливо только до тех пор, пока данный субстрат действительно лимитирует рост; когда же в игру вступает другой лимитирующий фактор (при на рис. 3.10), автостабилизация уровня прекращается и он начинает расти линейно с

Рис. 3.10. Автостабилизация уровня лимитирующего субстрата.

Отметим здесь еще одно свойство хемостата, впервые исследованное Новиком и Сциллардом автоселекцию мутантов: если в результате мутации образуется новый штамм, лучше утилизирующий данный субстрат, то с течением времени он вытесняет исходный штамм из хемостата. Иначе говоря, два конкурирующих за один субстрат штамма не могут устойчиво сосуществовать в проточном культиваторе (см., например, Это, собственно, частный случай закона перекрывающихся ниш Гаузе, о котором шла речь в § 1.

Модель III. Обратимся теперь к модели, учитывающей субстратное угнетение (уменьшение скорости роста при больших концентрациях субстрата). В этом случае безразмерная скорость роста в зависимости от безразмерной концентрации субстрата дается выражением (3.9). Функция достигает максимального значения при (см. рис. 3.4). Система уравнений,

описывающая рост биомассы в хемостате при наличии субстратного угнетения, будет

Одна особая точка системы (3.25) по-прежнему имеет координаты но кроме нее могут существовать еще две точки:

которые сливаются, когда иначе говоря, когда скорость протока равна максимальному значению скорости роста. При могут быть два действительных положительных значения з, но они оба не всегда имеют смысл, так как для большего из них может нарушиться условие (условие положительности Это условие накладывает ограничение на параметр аналогичное условию вымывания в предыдущих моделях:

Таким образом, если То существует лишь одно положительное стационарное значение у и поведение системы практически не отличается от поведения модели Моно (в этом случае мы не заходим за максимум кривой и влияние субстратного подавления не сказывается). При увеличении в интервале скоростей разбавления будут существовать оба корня из (3.26).

Исследуем теперь устойчивость особых точек. Для первой точки корни характеристического уравнения т. е. эта точка устойчива при Для двух других особых точек имеем

Из формулы (3.27) следует, что точка, соответствующая нижнему участку кривой устойчивым узлом, а верхнему -седлом. При будет наблюдаться катастрофа типа складки — появление двух точек (устойчивой и неустойчивой). В интервале значений параметров существуют одновременно две устойчивые особые точки и, следовательно, при плавном изменении параметра будет наблюдаться гистерезис. Например, при увеличении режим вымывания наступает не при а позднее при Концентрации х и у на границах области гистерезиса меняются скачком (рис. 3.11).

Фазовый портрет системы (3.25) в случае, когда одновременно существуют все три особые точки, приведен на рис. 3.12. Изоклина горизонтальных касательных В трижды пересекает прямую стационарных значений На фазовой плоскости существует сепаратриса, разделяющая зоны притяжения устойчивых точек 1 и 3.

Модель IV. Рассмотрим теперь практически важный случай, когда скорость роста клетки зависит не только от концентрации субстрата, но также и от выделяемых в процессе жизнедеятельности клетки метаболитов. При ингибирующем действии продуктов метаболизма скорость роста может быть выражена известным законом Моно — Иерусалимского (формула (3.11)). Замкнутая модель, описывающая рост культуры, должна включать в себя уравнение для изменения концентрации продукта

Рис. 3.11. Зависимость стационарных концентраций х и у от 6 (модель III) при Сплошные линии — пунктир —

Рис. 3.12. Фазовый портрет модели III. Изоклины вертикальных касательных горизонтальных — кривая В -Пунктир-сепаратриса седловой точки 2.

Запишем его в виде (см. [36])

При этом мы предполагаем, что увеличение концентрации продукта пропорционально приросту биомассы. Заметим, что коэффициент пропорциональности а в (3.28) ограничен сверху ввиду закона сохранения вещества; если все концентрации выражены в одних и тех же единицах (например, молях углерода), то

Введем новую безразмерную переменную и коэффициент Тогда система безразмерных уравнений, описывающая рост биомассы в проточном культиваторе при

учете ингибирующего продукта, будет иметь вид

Стационарные значения концентраций определяются из алгебраической системы:

Одна особая точка снова соответствует нулевой биомассе, другая определяется из соотношения Скорость вымывания в модели та же, что и в модели Моно: величина параметра ингибирование сказывается лишь на форме зависимости при На рис. 3.13 приведено семейство кривых (8) при разных значениях х. Видно, что ингибирующее влияние продукта ведет к значительному уменьшению стационарных концентраций биомассы при всех скоростях протока. Исследование устойчивости показывает, что нулевая (по биомассе) особая точка, как обычно, устойчива при и седло — при Другая точка (когда она существует) — устойчивый узел.

Рис. 3.13. Влияние константы ингибирования на стационарные концентрации биомассы в модели

Таким образом, во всех рассмотренных моделях проточного культиватора состояние равновесия с ненулевой биомассой представляет собой устойчивый узел, т. е. процессы установления в системе носят апериодический характер. В следующей простой модели (см. [37, 38]) может существовать устойчивый фокус, т. е. в принципе могут быть затухающие колебания концентраций вблизи стационарного значения.

Модель V. Учтем в модели Моно вероятность спонтанной гибели клеток; это приведет к появлению дополнительного «оттока» биомассы:

(член — как раз и описывает гибель клеток).

Особые точки системы (3.31):

Скорость вымывания, когда обращается в нуль, в данной модели меньше, чем в модели Моно:

Стационарные кривые при изображены пунктиром на рис. 3.8. В отличие от модели Моно (представленной на этом же рисунке сплошными линиями) при уменьшении скорости протока концентрация биомассы снижается, стремясь к нулю при Это объясняется тем, что при малых скоростях протока все. большую роль начинает играть спонтанная гибель клеток.

Исследование устойчивости показывает, что, как обычно, точка 1 — это узел при и седло при точка же 2 при некотором соотношении параметров, определяемом из неравенства

может быть устойчивым фокусом (при противоположном знаке неравенства — устойчивым узлом). Система обладает очень малой добротностью и поведение ее мало отличается от апериодического.

Модель VI. До сих пор мы считали, что субстрат расходуется исключительно на прирост биомассы клеток с коэффициентом пропорциональности Однако хорошо известно, что многие, так называемые «энергетические», субстраты расходуются также на поддержание жизненных функций клеток [П 38, 39]. В этом случае суммарный расход субстрата будет состоять из двух членов:

откуда для удельной скорости роста имеем

Далее встает вопрос, какой вид имеют зависимости В ранних работах Перта [39] предполагалось, что и в этом случае можно выразить формулой Моно: Тогда безразмерное уравнение для субстрата

при больших значениях х и малых у становится бессмысленным. Действительно, при имеем т. е. фазовые траектории уходят в область отрицательных у. В последних работах Перта (см. [П 38]), было сделано более естественное предположение о том, что при стремится к нулю полное потребление субстрата единицей биомассы, т. е. Тогда, используя гиперболический закон Моно для выражения зависимости имеем

Обозначив получим для культивирования в хемостате на этот раз следующую безразмерную систему:

полностью совпадающую по форме с моделью V, построенной при учете гибели клеток.

Нетрудно убедиться, что система (3.34) во всем положительном квадранте вполне разумно описывает динамику культуры в хемостате. Отметим здесь еще раз, что стационарное состояние с отличной от нуля биомассой существует в системе (3.34) при скоростях протока

что, в свою очередь, накладывает ограничение на параметр

или

Это означает, что при поглощаемого биомассой субстрата нехватает даже на удовлетворение энергетических нужд клеток и они должны погибнуть. Для клеток остается, правда, возможность изменить свой метаболизм и использовать другие источники энергии, однако это обстоятельство в рассматриваемой модели Перта не учитывается.

Модель VII. В качестве примера автоколебательной микробиологической системы рассмотрим случай, когда в проточном культиваторе обитают два вида, х и у. Субстратом для развития вида у (хищника) является биомасса вида х (жертвы); прирост биомассы хищника представляется функцией Моно. Для развития жертвы выберем модель Ферхюльста с самоограничением (3.1). Тогда можно записать безразмерную систему:

имеющую три стационарные точки:

Вторая точка существует в положительном квадранте при третья — при

Исследуем устойчивость особых точек. Нулевая точка — устойчивый узел при больших скоростях протока что соответствует случаю полного вымывания обеих популяций. При скоростях протока, меньших коэффициента репродукции жертвы нулевая точка становится неустойчивой (седло).

Для особой точки 2 корни характеристического уравнения: т. е. условием ее устойчивости будет условие малости коэффициента репродукции хищника в этом случае популяция хищника вымирает, а величина популяции

жертвы стремится к конечному значению При точка 2 тоже становится седлом.

Можно показать, что точка 3 при устойчива, т. е. в этой области изменения параметров возможно устойчивое сосуществование хищника и жертвы в проточном культиваторе.

Рис. 3.14. Параметрический портрет модели VII при Области определяются условиями: о)

При увеличении коэффициента репродукции хищника и условии не слишком сильного самоограничения жертвы точка 3 становится неустойчивым узлом или фокусом

Рис. 3.15. Варианты фазовых портретов модели VII. В — изоклина горизонтальных касательных , А — вертикальных Жирной линией проведен предельный цикл. Случаи а) — г) соответствуют областям параметров на рис. 3.14.

и тогда вокруг нее должен появиться по крайней мере один устойчивый предельный цикл, соответствующий автоколебаниям в системе хищник — жертва.

На рис. 3.14 изображены четыре области в плоскости параметров в которых решения системы (3.35) имеют существенно различный характер. Соответствующие фазовые портреты приведены на рис. 3.15.

Мы не затронули модели, описывающие работу других видов проточного культиватора: турбидостата, плотностата, рН-стата, в которых с помощью систем автоматического слежения поддерживаются заданные значения плотности биомассы или других параметров, а также модели полупроточной системы, в которую непрерывно или периодически добавляется свежий питательный субстрат, а жидкость и биомасса не изымаются из культиватора до окончания процесса, систем с газовым питанием и многих других. Эти модели и ссылки на них можно найти в монографиях Отметим также интересную работу [40], где наряду с динамикой биомассы и субстрата рассматривается изменение концентрации промежуточного метаболита.