§ 2. Элементы качественной теории динамических систем второго порядка

Мы рассмотрим здесь вкратце математические методы исследования систем обыкновенных дифференциальных уравнений типа (1.1). Правые части кинетических уравнений, как мы уже упоминали, — нелинейные функции динамических переменных, поэтому точное аналитическое решение уравнений можно получить далеко не всегда. В общем случае задача может быть решена лишь приближенно с помощью цифровых или аналоговых машин. Однако для исследования поведения модели не обязательно проводить точный количественный расчет, а можно (и часто даже нужно) ограничиться качественной картиной явлений.

Большинство моделей в нашей книге — это системы второго порядка или сводящиеся к ним. Поэтому рассмотрим динамическую систему вида

где непрерывные функции своих переменных. Для качественного исследования оказывается удобным рассматривать х и у как координаты изображающей точки на фазовой плоскости. Решению уравнений (1.2)

соответствует движение изображающей точки по фазовой траектории. Совокупность фазовых траекторий, соответствующих различным начальным условиям, называется фазовым портретом системы.

Для построения фазового портрета находят семейство интегральных кривых уравнения

полученного из (1.2) исключением времени По теореме Коши (о существовании и единственности решения дифференциального уравнения) через каяедую точку фазовой плоскости может проходить только одна интегральная кривая, наклон которой в этой точке определяется уравнением (1.3). Исключение составляют лишь особые точки, в которых одновременно

Угол наклона в этих точках неопределен поэтому здесь может пересекаться несколько (и даже бесконечно много) интегральных кривых. Особые точки уравнения (1.3) соответствуют положениям равновесия системы (1.2) или, иначе говоря, стационарным решениям. Решения называются стационарными значениями.

Если уравнение (1.3) имеет аналитическое решение, найти фазовые траектории не представляет труда. В противном случае построение фазового портрета производят качественно, например, с помощью метода изоклин. Изоклины — это линии, которые пересекаются интегральными кривыми под одним и тем же углом; их уравнение Особый интерес представляют главные изоклины — изоклины горизонтальных и вертикальных касательных. Для изоклины горизонталей имеем

для изоклины вертикалей

Отметим, что на пересечении главных изоклин располагаются особые точки.

В принципе, построив много изоклин, можно с большой точностью воспроизвести фазовый портрет, однако качественную

оценку можно обычно сделать, зная лишь расположение главных изоклин и характер устойчивости особых точек.

Для исследования устойчивости особых точек рассматривают линеаризованную систему дифференциальных уравнений, которая описывает движение вблизи положения равновесия. Разложив правые части системы (1.4) по степеням х и у — малых отклонений от стационарных значений , получим линеаризованную систему

где отброшены все члены, начиная с квадратичных по

Линейная система (1.5) имеет нетривиальное решение

если является корнем характеристического уравнения

Значения полученные из решения уравнения (1.6), определяют характер движения вблизи особых точек исходной нелинейной системы (1.2), если только ни одно из значений не обращается в нуль. В последнем случае приходится исследовать приближения более высокого порядка.

Итак, рассмотрим возможные комбинации значений и соответствующие типы особых точек.

1. Дискриминант характеристического уравнения

Оба корня действительны. При этом могут быть следующие возможности.

а) . Решение (1.5) представляется в виде убывающих экспонент, т. е. система, выведенная из положения равновесия, снова стремится к нему. Особая точка в этом случае называется устойчивым узлом.

б) - неустойчивый узел: при любых начальных отклонениях система удаляется от положения равновесия.

в) Корни имеют разные знаки — особая точка неустойчива и носит название седла. Через нее проходят только две интегральные кривые — сепаратрисы.

г) Для случая, когда один из корней равен нулю, исследование более высокого приближения показывает, что в нелинейной системе в этом случае могут существовать более сложные особые точки, такие, например, как седло-узел.

2. Дискриминант характеристического уравнения Корни комплексно-сопряженные; обозначим их Снова возможны несколько случаев.

а) . В системе будут происходить затухающие колебания. На фазовой плоскости это соответствует семейству спиралей, накручивающихся на особую точку. Это устойчивый фокус.

б) - неустойчивый фокус, соответствующий нарастающим по амплитуде колебаниям.

в) . В системе происходят незатухающие колебания; особая точка носит название центра. Фазовые траектории в этом случае — вложенные друг в друга эллипсы. Значение параметра является критическим, так как при переходе от положительных к отрицательным фазовый портрет качественно меняется (от неустойчивого фокуса к устойчивому). Это значение параметра называется бифуркационным. Сама же система при (так же, как и в случае (1 г) при обращении в нуль) является, по определению Андронова, «негрубой» [21.

Перейдем теперь от исследования движений вблизи отдельной особой точки к построению траекторий системы на всей фазовой плоскости или в некоторой ее области, ограниченной условиями задачи (например, в положительном квадранте). При этом мы не будем рассматривать все возможные виды фазовых траекторий, а ограничимся теми, которые будут особенно часто встречаться в наших моделях.

Куда устремляются фазовые траектории из неустойчивых точек? Прежде всего, очевидно, в бесконечность или к устойчивым особым точкам. Но, кроме того, в нелинейных автономных системах могут также существовать устойчивые колебательные движения, или автоколебания. На фазовой плоскости этим движениям соответствуют замкнутые траектории, охватывающие точку и называемые предельными циклами. Предельных циклов, окружающих данную точку, может быть несколько, причем устойчивые циклы (к которым изнутри и снаружи стремятся фазовые траектории) чередуются с неустойчивыми.

В «грубой» динамической системе 2-го порядка могут существовать «стоки» и «источники» фазовых траекторий только в виде особых точек (типа узла или фокуса) и предельных циклов. Существенную роль в построении фазовых портретов играют упоминавшиеся выше сепаратрисы седел. Совокупность сепаратрис и предельных циклов делит фазовую плоскость на элементарные ячейки, внутри которых все траектории ведут себя подобным образом (или, как говорят, они топологически подобны). Таким образом, качественное построение фазового портрета в принципе возможно, если определены особые точки, предельные циклы и сепаратрисы.

Однако нахождение предельных циклов и сепаратрис в общем случае сопряжено со значительными трудностями, на которых мы сейчас не будем останавливаться. В том случае, когда система обладает в положительном квадранте одной особой точкой, недостаточно исследовать только характер ее устойчивости, а

обязательно также проверяется устойчивость бесконечно удаленных точек. Если и особая точка, и бесконечность неустойчивы, в системе обязательно должен существовать хотя бы один устойчивый предельный цикл. В этом случае мы имеем дело с автоколебательной системой.

Остановимся отдельно на часто встречающемся случае, когда система в положительном квадранте обладает тремя состояниями равновесия, два из которых устойчивы. По аналогии с радиотехникой такие системы носят название триггерных. Типичный фазовый портрет триггерной системы показан, например, на рис. Устойчивыми узлами являются точки 1 и 2, симметричная точка седлом. Сепаратриса делит фазовую плоскость на зоны притяжения точек 1 и 2. Важная особенность таких систем состоит в том, что они остаются сколь угодно долго в одном из устойчивых состояний, пока большое внешнее воздействие не «перебросит» изображающую точку через сепаратрису (это будет в случае непосредственного воздействия на координату). Можно представить себе и другой тип воздействия, когда на некоторое ограниченное время система существенно изменяет свой вид, например так, что в ней остается лишь одна устойчивая особая точка, а та, в которой до этого времени находилась изображающая точка, становится неособой. Точка начинает двигаться к новому положению равновесия, и когда она уже пересечет прежнюю сепаратрису — можно снова вернуть систему в исходное состояние. Как мы покажем ниже, подобные триггерные системы играют первостепенную роль в вопросах эволюции, клеточной дифференциации и т. п.

В системах третьего и более высоких порядков поведение фазовых траекторий может быть существенно более сложным. Прежде всего, здесь появляются сложные неустойчивые особые точки типа седло-фокус или седло-узел. Если при этом два корня характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть, а третий положителен, то фазовые траектории, лежащие на некоторой поверхности, проходящей через особую точку, будут стремиться к этой точке, но движение по ним будет абсолютно неустойчиво, так как все траектории вне этой поверхности неограниченно расходятся. При противоположных знаках к траектории из всего пространства сходятся к избранной поверхности, но зато на ней — расходятся от особой точки.

Другой интересный класс явлений связан с понятием «странный аттрактор». Аттрактором называется область фазового пространства, в которую стремятся со временем все траектории (из некоторой конечной или бесконечной области притяжения данного аттрактора). Странный аттрактор отличается от простых аттракторов (устойчивых особых точек и предельных циклов) тем, что все его траектории неустойчивы и с течением времени перемешиваются, оставаясь в пределах области аттрактора. Отметим, что простых аттракторов в этой области не существует. Динамическое поведение системы, обладающей странным аттрактором, представляется непредсказуемым, квазистохастическим (см. [6—81).

Квазистохастическое поведение очень часто наблюдается в различных биологических системах. Как мы покажем в гл. 10, такой режим поведения в моделях может объясняться не только наличием в системе странных аттракторов, но и длительными процессами установления устойчивых состояний. Поскольку любая математическая модель может адекватно описывать биологическую систему лишь на ограниченных интервалах времени, то попытки свести любое стохастическое поведение реальной системы к существованию в ней странных аттракторов представляются бессмысленными. Отчасти по этой причине в нашей книге не слишком много места уделено странным аттракторам, — тем более, что для систем выше третьего порядка они недостаточно изучены.